专题09 函数零点问题的解题模板-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）

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1、【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容、其实质是相应方程的根、而方程是高考重点考查内容、因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点、其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题、多以选择、填空题的形式考查、【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步若其乘积小于0、则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可、例1函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考点：零点存在定理．【变式演练1】方程

2、的解所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题意得、设函数、则、所以、所以方程的解所在的区间为、故选B、学科网考点：函数的零点、【变式演练2】函数的零点所在区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】[来源:学科网ZXXK]试题分析：、、故函数的零点所在区间为．考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0、则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接

3、运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论、例2、函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】考点：函数的零点．【变式演练3】函数在区间（0,1）内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、3【答案】B【解析】试题分析：由于函数在区间内为单调递增函数、且、即、所以函数在区间内只有一个零点、故选B、考点：函数的零点、【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题、其中解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查、着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、本题

4、的解答中、根据题意得出函数在区间内为单调递增函数且是解答的关键、【变式演练4】方程的根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．【变式演练5】已知函数．（1）记、求证：函数在区间内有且仅有

5、一个零点；（2）用表示中的最小值、设函数、若关于的方程（其中为常数）在区间有两个不相等的实根、记在内的零点为、试证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求出函数的导数、通过解关于导函数的不等式、得到函数的单调性、结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明、根据在上递减、即证明、根据函数的单调性证明即可．学科网（2）由（1）问可知、且时、、时、因此、其中满足即、（事实上）、而时、、时、、因此在、若方程在区间有两个不相等的实根、、则必有、所证、因为在单调递减、所以只需证

6、、而、所以只需证、即证明：、考点：（1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性．方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步函数有零点问题转化为方程有根的问题；第二步在同一直角坐标系中、分别画出函数和的图像；第三步观察并判断函数和的图像的交点个数；第四步由和图像的交点个数等于函数的零点即可得出结论、例3、方程的解的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】试题分析：由图象可知、函数与函数有2个交点、所以方程有2个解。学科网考点：函数与方程。【变式演练6】已知定义在上

7、的偶函数满足、且当时、、若方程恰有两个根、则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考点：1．函数的性质；2．函数与方程．【变式演练7】已知函数、若方程有且只有两个不相等的实数根、则实数的取值范围为（）A、B、C、D、【答案】C【解析】考点：函数与方程、【变式演练8】设函数、若互不相等的实数满足、则的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】D【解析】试题分析：在坐标系内作出函数的图象、作直线与该函数的图象相交、有三个公共点、由图可知、、所以、故选D、学科网考点：1、函数与方程；2、数形结合、【高考再现

8、】1、【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减、且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解、则a的取值范围是（）（A）（0、]（B）[、]（C）[、]{}（D）[、）{}【答案】C【解析】考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式、再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参