2018年高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板

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1、专题14定积分求值问题【高考地位】泄积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数f(x)的定义域并求111函数/(X)的导函数f(x);第二步求方程fx)=0的根；第三步判断f(x)在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1

2、sinxdx的值为()A.—B.7T2【答案】D【解析】考点:徹积分基本定理.【点评】一个函数的导数是唯一的〉

3、而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用徽积分基本求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.【变式演练1】下列汁算错误的是【答案】D【解析】试题分析：A选项，JsinM:=(-cosx)L=0,所以A正确；B选项，^y[xdx=—x^=—,所以B'丿0正确；C选项，根据偶函数图彖及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。考点：定积分的计算。【变式演练2】若5,=j"x2dx,S2=J"-dx,S3=j"exdx,则&S2S3的大小关系为()A.S{

4、】B【解析】i7试题分析：S{=-x3i=^S2=lnx[=29S3=ex^=e2-e:.S2

5、；z=+In«-1=3+In2,得彳,所以a=

6、2.x[lna=ln2考点：定积分的运算.【变式演练5】『(siax+l)dx=•J—2【答案】4【解析】2试题分析：由题意得J2(sinx+)dx=(cosx+x)百=(cos2+2)-[cos(-2)-2]=4・考点：定积分的计算.lgxx>0【变式演练6】设f(X)=?若/(/⑴)"，则。=•兀+3广力x„0Jo【答案】1【解析】试题分析：因为匸3总2瑞=込所以于(1)=]型=0,/(/(1))=/(0)=^=13_.«=1.考点：1.函数的表示；2.定积分运算.【变式演练7】如图，阴影部分的面积是()A.2^3【答案】C【解析】B.5^3试题分析:面积为J：(3-兀2-2兀肚二32

7、考点：定积分.类型二利用定积分的儿何意义求定积分使用情景：被积函数的原函数不易求出解题模板：第一步画出被积函数的图像；第二步作出直线计算函数x=a,x=byy=0所围成的图形;第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.例2计算定积分^4-x2dx.【答案】-+—・32【解析】试题分析：该题不能直接按公式求解，从斯二庄表示的几何意义来看半圆，所求定积分是圆心在原点半径为2的学科网上半个圆围成的面积.试题解析：利用导数的几何意义知，该定积分表示的杲一个圆心在原点半径为2的上半个圆围成的面积:，结合图像知其值为：£+当.32考点：定积分的计算.【变式演练8】设1-1,xg[1,2]A.C.71

8、443B.-+32D.-+34【答案】A【解析】试题分析：f2f（x）clx=「J1-M+『（兀2一1）必二丄兀打+（丄兀3一对輕兰+纟，故选A.j-ij_iJi2323考点：定积分.【变式演练9】定积分[J9-&的值为（）B.3龙D.9—712【答案】C【解析】—3/£试题分析：令x=3sinr,则丁9一兀2=3cosr,dx=3cosr,rg[0,—],则J/9-x2dx=9^2cos2tdtryl+cos2r,92dt=—+—sin2tJJo2222(10J9=2龙，故应选c.4考点：定积分及运算.【变式演练10】£(Vl-x2+x+x3)^=【答案】[(x+jc'^dx=5+拥J

9、o(24)3o4【解析】试题分析：因为J。(/1-x2+x+x3)dx=£J1-兀2必+J。(x+x3)dr[J匚7&等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为彳，所以「（J1—〒+兀+*）必=£±2,故答案为空3.Jo44考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.【变式演练11】已知a>0,-无）6展开式的常数项为15,则J-"(X2+X+V4-X2)^¥=【答案】冷+馆【解析】3尸-6试