2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：推理与证　直接证明与间接证明（含答案）

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1、第七章　推理与证明第2课时　直接证明与间接证明1.用反证法证明“如果a>b，那么>”假设内容应是____________．答案：≤解析：假设结论不成立，即≤.2.设x是实数，则“x>0”是“

2、x

3、>0”的________条件．答案：充分不必要解析：x>0

4、x

5、>0，而

6、x

7、>0x>0或x<0，故“x>0”是“

8、x

9、>0”的充分不必要条件．3.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________．答案：2n解析：因为数列{an}为等比数列，则an＝2qn－1.因为数列{an＋1}也是等比数列，则[an＋1＋1]2＝[an＋1]

10、[an＋2＋1]a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2an＋an＋2＝2an＋1an[1＋q2－2q]＝0q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.4.已知函数f[x]满足：f[a＋b]＝f[a]·f[b]，f[1]＝2，则＋＋＋＝________．答案：16解析：根据f[a＋b]＝f[a]·f[b]得f[2n]＝f2[n]，又f[1]＝2，则＝2，故＋＋＋＝＋＋＋＝16.5.对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f[x]＝[x2－2][x－x2]，x∈R.若函数y＝f[x]－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．答案：[－∞，－2

11、]∪解析：画出函数图象即可知实数c的取值范围是[－∞，－2]∪[－1，－]．6.已知两个非零向量a与b，定义ab＝

12、a

13、

14、b

15、sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝[－3，6]，a－b＝[－3，2]，则ab＝________．答案：6解析：a＝[－3，4]，b＝[0，2]，a·b＝

16、a

17、

18、b

19、·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，ab＝5×2×＝6.7.函数f[x]的定义域为A，若x1、x2∈A且f[x1]＝f[x2]时总有x1＝x2，则称f[x]为单函数．例如，函数f[x]＝2x＋1[x∈R]是单函数．下列命题：①函数f[x]＝x2[x∈R]是

20、单函数；②若f[x]为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f[x1]≠f[x2]；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，b在A中至多有一个元素与之对应；④函数f[x]在某区间上具有单调性，则f[x]一定是单函数．其中为真命题的是________．[填序号]答案：②③④解析：①错，x1＝±x2；②③④正确．8.如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是____________．答案：a≥0，b≥0且a≠b解析：∵a＋b＞a＋b[－]2[＋]＞0a≥0，b≥0且a≠b.9.已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于.证明：∵abc＝1，

21、∴a、b、c三者同为正或一正两负．又a＋b＋c＝0，∴a、b、c三者中只能是一正两负．不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则b＋c＝－a，又bc＝，∴b、c为方程x2＋ax＋＝0的两个负根．∴Δ＝a2－≥0.∴a≥＞＝.∴a＞.10.先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1、a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.证明：构造函数f[x]＝[x－a1]2＋[x－a2]2，因为对一切x∈R，恒有f[x]≥0，所以Δ＝4－8[a＋a]≤0，从而得a＋a≥.[1]若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；[2]参考上述解法，对你推广的结论加以证明

22、．[1]解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.[2]证明：构造函数f[x]＝[x－a1]2＋[x－a2]2＋…＋[x－an]2＝nx2－2[a1＋a2＋…＋an]x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.因为对一切x∈R，都有f[x]≥0，所以Δ＝4－4n[a＋a＋…＋a]≤0，从而证得：a＋a＋…＋a≥.11.数列{an}中，a1＝，an＋1＝a－an＋1.[1]求证：＝－；[2]设Sn＝＋＋＋…＋，n>2，证明：Sn<2.证明：[1][证法1]要证＝－，只要证＝－＝，只要证an＋1－1＝an[an－1]，只要证an＋1＝a－

23、an＋1，根据已知条件，得证．[证法2]∵an＋1＝a－an＋1＝an[an－1]＋1，∴an＋1－1＝an[an－1]，∴＝＝－.∴＝－.[2]由[1]知，＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝2－.　∵an＋1－an＝a－2an＋1＝[an－1]2≥0，且a1＝>1，∴an＋1>an>1，∴2－<2，即Sn<2.