最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习课时训练基础过关+能力训练第七章　推理与证明第2课时　直接证明与间接证明.doc

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1、第七章　推理与证明第2课时　直接证明与间接证明1.用反证法证明“如果a>b，那么>”假设内容应是____________．答案：≤解析：假设结论不成立，即≤.2.设x是实数，则“x>0”是“

2、x

3、>0”的________条件．答案：充分不必要解析：x>0

4、x

5、>0，而

6、x

7、>0x>0或x<0，故“x>0”是“

8、x

9、>0”的充分不必要条件．3.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________．答案：2n解析：因为数列{an}为等比数列，则an＝2q

10、n－1.因为数列{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)a＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2an＋an＋2＝2an＋1an(1＋q2－2q)＝0q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.4.已知函数f(x)满足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则＋＋＋＝________．答案：16解析：根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f2(n)，又f(1)＝2，则＝2，故＋＋＋＝＋＋＋＝16.5.对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数

11、f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪解析：画出函数图象即可知实数c的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，－)．6.已知两个非零向量a与b，定义ab＝

12、a

13、

14、b

15、sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则ab＝________．答案：6解析：a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a·b＝

16、a

17、

18、b

19、·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sin

20、θ＝，ab＝5×2×＝6.7.函数f(x)的定义域为A，若x1、x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，b在A中至多有一个元素与之对应；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中为真命题的是________．(填序号)答案：②③④解析：①

21、错，x1＝±x2；②③④正确．8.如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是____________．答案：a≥0，b≥0且a≠b解析：∵a＋b＞a＋b(－)2(＋)＞0a≥0，b≥0且a≠b.9.已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于.证明：∵abc＝1，∴a、b、c三者同为正或一正两负．又a＋b＋c＝0，∴a、b、c三者中只能是一正两负．不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则b＋c＝－a，又bc＝，∴b、c为方程x2＋ax＋＝0的两个负根．∴Δ＝a2－≥0.∴a

22、≥＞＝.∴a＞.10.先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1、a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1

23、)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，从而证得：a＋a＋…＋a≥.11.数列{an}中，a1＝，an＋1＝a－an＋1.(1)求证：＝－；(2)设Sn＝＋＋＋…＋，n>2，证明：Sn<2.证明：(1)(证法1)要证＝－，只要证＝－＝，只要证an＋1－1＝an(an－1)，只要证an＋1＝a－an＋1，根据已知条件，得证．(证法2)∵an＋1＝a

24、－an＋1＝an(an－1)＋1，∴an＋1－1＝an(an－1)，∴＝＝－.∴＝－.(2)由(1)知，＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝2－.　∵an＋1－an＝a－2an＋1＝(an－1)2≥0，且a1＝>1，∴an＋1>an>1，∴2－<2，即Sn<2.