2015年高考数学总复习教案：7.2直接证明与间接证明

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1、第七章　推理与证明第2课时　直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)95～96页)考情分析考点新知了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.1.已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．答案：2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＝2.2.用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为______________．答案：＝或<解

2、析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即＝或<.3.(选修12P44练习题3改编)－2与－的大小关系是______________．答案：－2>－解析：由分析法可得，要证－2>－，只需证＋>＋2，即证13＋2>13＋4，即>2.因为42>40，所以－2>－成立．4.定义集合运算：A·B＝{Z

3、Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A·B的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠kπ＋，k∈Z.①α＝kπ＋(k∈Z)时，B＝，A·B＝；②α＝2kπ或α＝2kπ＋(k∈Z)时，B＝{0，1}，A·

4、B＝{0，1，－1}；③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈Z)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}；④α≠且α≠kπ＋(k∈Z)时，B＝{sinα，cosα}，A·B＝{0，sinα，cosα，－sinα，－cosα}．综上可知A·B中的所有元素之和为0.5.(选修12P44练习题4改编)设a、b为两个正数，且a＋b＝1，则使得＋≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：∵a＋b＝1，且a、b为两个正数，∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.要使得＋≥μ恒成立，只要μ≤4.1.直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明

5、方法．(2)一般形式ABC…本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．②推证过程……(4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．②推证过程……2.间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、正难则反等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由

6、矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．[备课札记]题型1　直接证明(综合法和分析法)例1　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)，证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·，即＝2，∴数列是等比数列．(2)由(1)知：＝4·(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋1)·＝4an(n≥2)．又a2＝3S1＝3，∴S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，∴对一切n∈N

7、*，都有Sn＋1＝4an.例2　设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明＋≥4lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要证明≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0

8、＝Sm＋qmSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，则a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn　①，从而Sn＋2＝S1＋qSn＋1　②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，综上得an＋1＝qan(n≥1)，所以数列{an}是等比数列．题型2　间接证明(反证法)例3　证明：，，不能为同一等差数列中的三项．证明：假设，，为同一等差数列的三项，则存在整数m、n满足①×n－②×m得n－m＝(n－m)，两边平方得3n2＋5m2－2mn＝2(n－m)2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，故假设不正确，即，，