高考数学复习点拨 直接证明与间接证明教材解读

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1、高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明教材解读我们已经知道，由合情推理所得的结论不一定可靠，要说明该结论正确，必须要通过逻辑推理的方式加以证明．证明的基本方法有两类：直接证明和间接证明．　　1．直接证明　　直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法，它们是解决数学问题时常用的思维方法．　　（1）综合法　　综合法是从原因推导到结果的思维方法．具体地说，综合法就是从已知条件出发，利用某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理，最后推导出待证结论成立．其证题过程可以表示为：条件结论．　

2、　（2）分析法　　分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．具体地说，分析法就是从待证结论出发，一步一步寻求使上一步成立的充分条件（充要条件也可以），直到最后，把需要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（它可以是已知条件、定义、定理、公理等）．分析法的证题过程可以表示为：结论条件（3）综合法与分析法的关系　　综合法与分析法是两种思路截然相反的证明方法．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找上一步的必要条件．而分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找使上一步成立的充分

3、条件．　　分析法和综合法各有其优缺点．从寻求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用，即先用分析法探索证题的途径，然后用综合法的形式写出证题过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法．　　2．间接证明　　反证法是间接证明的一种基本方法，它不是去直接证明结论，而是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定

4、相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（１）反设；（２）归谬；（３）结论．　　反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是十分必要的．例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．　　归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必

5、须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨，导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾等．