2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：推理与证　数学归纳法（含答案）

《2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：推理与证　数学归纳法（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章　推理与证明第3课时　数学归纳法[理科专用]1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n[n∈N*，n＞1]时，第一步应验证不等式________．答案：1＋＋＜2解析：∵n∈N*，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故填1＋＋＜2.2.凸n边形有f[n]条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f[n＋1]为________．答案：f[n]＋n－1解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f[n＋1]＝f[n]＋1＋n＋1－3＝f[n]＋n－1.3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an[n≥2]，而

2、a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝________．答案：解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝[n＋1]2an＋1，∴Sn＋1－Sn＝[n＋1]2an＋1－n2an，∴an＋1＝[n＋1]2an＋1－n2an，∴an＋1＝an[n≥2]．当n＝2时，S2＝4a2.又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.4.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n[n∈N*，n＞1]”时，由n＝k[k＞1]不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．答案：2k解析：增加的项数为

3、[2k＋1－1]－[2k－1]＝2k＋1－2k＝2k.5.已知f[n]＝[2n＋7]3n＋9[n∈N*]，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f[n]，则最大的m的值为________．答案：36解析：∵f[1]＝36，f[2]＝36×3，f[3]＝36×10，∴f[1]，f[2]，f[3]能被36整除，猜想f[n]能被36整除．6.观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出____．答案：1＋＋＋…＋<[n∈N*]解析：1＋<，即1＋<；1＋＋<，即1＋＋<，归纳出1＋＋＋…＋<[n∈N*]．7.设f[n]＝＋＋…＋[n∈N

4、*]，那么f[n＋1]－f[n]＝________．答案：－解析：f[n＋1]－f[n]＝－＝＋－＝－.8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n[na－b]＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．答案：a＝，b＝c＝解析：∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.9.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋[n∈N*]．用数学归纳法证明：an

5、N*]时，ak0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋－＝>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an

6、[a＋1]2k－1＋[a2＋a＋1]·[a＋1]2k－1＝a·＋[a2＋a＋1][a＋1]2k－1.由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可知，ak＋2＋[a＋1]2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命题也成立．根据①和②可知，对于任意的n∈N*，原命题成立．11.设数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝.下面用数学归纳法证

7、明猜想正确：①当n＝1时，左边a1＝1，右边＝＝＝1，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，就是ak＝，此时Sk＝2k－ak＝2k－.则当n＝k＋1时，由Sk＋1＝2[k＋1]－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2[k＋1]－2ak＋1，∴ak＋1＝[2[k＋1]－Sk]＝k＋1－＝.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由①②可知，an＝对n∈N*均成立．12.已知△ABC的三边长为有理数，求证：[1]cosA是有理数；[2]对任意正整数n，cosnA是有理数．证明：[1]由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝是有理数．[2]用数学归纳法证明

8、cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由[1]知cosA是有理数，从而有s