2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题专题3 导数及其应用 第22练含解析

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1、训练目标【1】利用导数处理与函数零点有关的题型；【2】解题步骤的规范训练．训练题型【1】利用导数讨论零点的个数；【2】利用导数证明零点的唯一性；【3】根据零点个数借助导数求参数范围．解题策略【1】注重数形结合；【2】借助零点存在性定理处理零点的存在性问题；结合单调性处理零点的唯一性问题；【3】注意参变量分离.1．【2015·广东】设a＞1，函数f【x】＝【1＋x2】ex－a.【1】求f【x】的单调区间；【2】证明：f【x】在【－∞，＋∞】上仅有一个零点．2．函数f【x】＝x3－kx，其中实数k为常数．【1】当k＝4时，求函数的

2、单调区间；【2】若曲线y＝f【x】与直线y＝k只有一个交点，求实数k的取值范围．3．【2016·南京、盐城、徐州二模】已知函数f【x】＝1＋lnx－，其中k为常数．【1】若k＝0，求曲线y＝f【x】在点【1，f【1】】处的切线方程；【2】若k＝5，求证：f【x】有且仅有两个零点；【3】若k为整数，且当x＞2时，f【x】＞0恒成立，求k的最大值．【参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30】4．【2015·山东】设函数f【x】＝【x＋a】lnx，g【x】＝.已知曲线y＝f【x】在点【1，f【1】】处的切线与直

3、线2x－y＝0平行．【1】求a的值；【2】是否存在自然数k，使得方程f【x】＝g【x】在【k，k＋1】内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．5．已知函数f【x】＝【x＋a】ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.【1】求函数f【x】的单调区间；【2】当a＜1时，试确定函数g【x】＝f【x－a】－x2的零点个数，并说明理由．答案精析1．【1】解　f′【x】＝2xex＋【1＋x2】ex＝【x2＋2x＋1】ex＝【x＋1】2ex，∀x∈R，f′【x】≥0恒成立．∴f【x】的单调递增区间为【－∞，＋∞】．【2】证明　

4、∵f【0】＝1－a，f【a】＝【1＋a2】ea－a，∵a＞1，∴f【0】＜0，f【a】＞2aea－a＞2a－a＝a＞0，∴f【0】·f【a】＜0，∴f【x】在【0，a】上有一个零点，又∵f【x】在【－∞，＋∞】上递增，∴f【x】在【0，a】上仅有一个零点，∴f【x】在【－∞，＋∞】上仅有一个零点．2．解　【1】因为f′【x】＝x2－k，当k＝4时，f′【x】＝x2－4，令f′【x】＝x2－4＝0，所以x1＝2，x2＝－2.f′【x】、f【x】随x的变化情况如下表：x【－∞，－2】－2【－2,2】2【2，＋∞】f′【x】＋0－0

5、＋f【x】极大值极小值所以f【x】的单调递增区间是【－∞，－2】，【2，＋∞】；单调递减区间是【－2,2】．【2】令g【x】＝f【x】－k，由题意知，g【x】只有一个零点．因为g′【x】＝f′【x】＝x2－k.当k＝0时，g【x】＝x3，所以g【x】只有一个零点0.当k＜0时，g′【x】＝x2－k＞0对x∈R恒成立，所以g【x】单调递增，所以g【x】只有一个零点．当k＞0时，令g′【x】＝f′【x】＝x2－k＝0，解得x1＝或x2＝－.g′【x】，g【x】随x的变化情况如下表：x【－∞，－】－【－，】【，＋∞】g′【x】

6、＋0－0＋g【x】极大值极小值g【x】有且仅有一个零点等价于g【－】＜0，即k－k＜0，解得0＜k＜.综上所述，k的取值范围是k＜.3．【1】解　当k＝0时，f【x】＝1＋lnx.因为f′【x】＝，从而f′【1】＝1.又f【1】＝1，所以曲线y＝f【x】在点【1，f【1】】处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.【2】证明　当k＝5时，f【x】＝lnx＋－4.因为f′【x】＝，所以当x∈【0,10】时，f′【x】＜0，f【x】单调递减；当x∈【10，＋∞】时，f′【x】＞0，f【x】单调递增．所以当x＝10时，f【x

7、】有极小值．因为f【10】＝ln10－3＜0，f【1】＝6＞0，所以f【x】在【1,10】之间有一个零点．因为f【e4】＝4＋－4＞0，所以f【x】在【10，e4】之间有一个零点，从而f【x】有且仅有两个不同的零点．【3】解　方法一　由题意知，1＋lnx－＞0对x∈【2，＋∞】恒成立，即k＜对x∈【2，＋∞】恒成立．令h【x】＝，则h′【x】＝.设v【x】＝x－2lnx－4，则v′【x】＝.当x∈【2，＋∞】时，v′【x】＞0，所以v【x】在【2，＋∞】上为增函数．因为v【8】＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v【9】＝5

8、－2ln9＞0，所以存在x0∈【8,9】，v【x0】＝0，即x0－2lnx0－4＝0.当x∈【2，x0】时，h′【x】＜0，h【x】单调递减；当x∈【x0，＋∞】时，h′【x】＞0，h【x】单调递增．所以当x＝x0时，h【x】的最小值为h【x0】＝.因为lnx0＝，所以h【x