2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题专题3 导数及其应用 第24练含解析

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1、【1】导数的综合应用；【2】压轴大题突破．训练目标【1】导数与不等式的综合；【2】利用导数研究函数零点；【3】利用导数求参数训练题型范围．【1】不等式恒成立【或有解】可转化为函数的最值问题，函数零点解题策略可以和函数图象相结合；【2】求参数范围可用分离参数法.a1．【2016·常州一模】已知函数f【x】＝lnx－x－，a∈R.x【1】当a＝0时，求函数f【x】的极大值；【2】求函数f【x】的单调区间．2．【2015·课标全国Ⅱ】设函数f【x】＝emx＋x2－mx.【1】证明：f【x】在【－∞，0】上单

2、调递减，在【0，＋∞】上单调递增；【2】若对于任意x1，x2∈－1,1]，都有

3、f【x1】－f【x2】

4、≤e－1，求m的取值范围．313．【2015·课标全国Ⅰ】已知函数f【x】＝x＋ax＋，4g【x】＝－lnx.【1】当a为何值时，x轴为曲线y＝f【x】的切线；【2】用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h【x】＝min{f【x】，g【x】}【x＞0】，讨论h【x】零点的个数．2x－14．【2016·山东】已知f【x】＝a【x－lnx】＋，a∈R.x2【1】讨论f【x】的单调性；3【2】当a

5、＝1时，证明f【x】＞f′【x】＋对于任意的x∈1,2]成立．25．已知函数f【x】＝xlnx和g【x】＝m【x2－1】【m∈R】．【1】m＝1时，求方程f【x】＝g【x】的实根；【2】若对任意的x∈【1，＋∞】，函数y＝g【x】的图象总在函数y＝f【x】图象的上方，求m的取值范围；44×24×n【3】求证：＋＋…＋＞ln【2n＋1】【n∈N*】．4×12－14×22－14×n2－1答案精析1．解函数f【x】的定义域为【0，＋∞】．1【1】当a＝0时，f【x】＝lnx－x，f′【x】＝－1.x令f′【

6、x】＝0，得x＝1.当x变化时，f′【x】，f【x】的变化情况如下表：x【0,1】1【1，＋∞】f′【x】＋0－f【x】极大值所以f【x】的极大值为f【1】＝－1.1a－x2＋x＋a【2】f′【x】＝－1＋＝.xx2x2令f′【x】＝0，得－x2＋x＋a＝0，则Δ＝1＋4a.1①当a≤－时，f′【x】≤0恒成立，4所以函数f【x】的单调减区间为【0，＋∞】；1②当a＞－时，由f′【x】＝0，41＋1＋4a1－1＋4a得x1＝，x2＝.221【i】若－＜a＜0，则x1＞x2＞0，4由f′【x】＜0，得0

7、＜x＜x2，x＞x1；由f′【x】＞0，得x2＜x＜x1.所以f【x】的单调减区间为1－1＋4a1＋1＋4a1－1＋4a1＋1＋4a【0，】，【，＋∞】，单调增区间为【，】．2222【ii】若a＝0，由【1】知f【x】的单调增区间为【0,1】，单调减区间为【1，＋∞】．【iii】若a＞0，则x1＞0＞x2，由f′【x】＜0，得x＞x1；由f′【x】＞0，得0＜x＜x1.1＋1＋4a所以f【x】的单调减区间为【，＋∞】，21＋1＋4a单调增区间为【0，】．2综上所述，1当a≤－时，4f【x】的单调减区间

8、为【0，＋∞】；11－1＋4a1＋1＋4a当－＜a＜0时，f【x】的单调减区间为【0，】，【，＋∞】，4221－1＋4a1＋1＋4a单调增区间为【，】；221＋1＋4a当a≥0时，f【x】的单调减区间为【，＋∞】，21＋1＋4a单调增区间为【0，】．22．【1】证明f′【x】＝m【emx－1】＋2x.若m≥0，则当x∈【－∞，0】时，emx－1≤0，f′【x】＜0；当x∈【0，＋∞】时，emx－1≥0，f′【x】＞0.若m＜0，则当x∈【－∞，0】时，emx－1＞0，f′【x】＜0；当x∈【0，＋∞】

9、时，emx－1＜0，f′【x】＞0.所以函数f【x】在【－∞，0】上单调递减，在【0，＋∞】上单调递增．【2】解由【1】知，对任意的m，f【x】在－1,0]上单调递减，在0,1]上单调递增，故f【x】在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈－1,1]，f1－f0≤e－1，

10、f【x1】－f【x2】

11、≤e－1的充要条件是f－1－f0≤e－1，em－m≤e－1，即①－me＋m≤e－1.设函数g【t】＝et－t－e＋1，则g′【t】＝et－1.当t＜0时，g′【t】＜0；当t＞0时，g′

12、【t】＞0.故g【t】在【－∞，0】上单调递减，在【0，＋∞】上单调递增．－1又g【1】＝0，g【－1】＝e＋2－e＜0，故当t∈－1,1]时，g【t】≤0.当m∈－1,1]时，g【m】≤0，g【－m】≤0，即①式成立；当m＞1时，g【m】＞0，即em－m＞e－1；当m＜－1时，g【－m】＞0，－m即e＋m＞e－1.综上，m的取值范围是－1,1]．3．解【1】设曲线y＝f【x】与x轴相切于点【x0,0】，则f【x0】＝0，f′【x0】＝0，31x0＋ax