2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题专题3 导数及其应用 第19练含解析

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1、训练目标【1】函数极值、最值的概念、求法；【2】函数极值、最值的应用．训练题型【1】求函数的极值；【2】求函数的最值；【3】恒成立问题；【4】零点问题．解题策略【1】f′【x】＝0是函数f【x】存在极值点的必要条件，f【x】的极值可用列表法求解；【2】利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；【3】零点问题可借助于函数的图象解决.1．【2016·济宁一模】函数f【x】＝x2－lnx的最小值为________．2．已知函数f【x】＝x3－2ax2－3x＋1在【－1,1】内有且只有一个极

2、值点，则实数a的取值范围是________________________．3．已知函数f【x】＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________．4．【2016·南京模拟】如果函数y＝f【x】的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f【x】在区间内单调递增；②函数y＝f【x】在区间内单调递减；③函数y＝f【x】在区间【4,5】内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f【x】有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f【x】有极大值．其中判断正确的是________．5．【2016·保

3、定一中模拟】已知f【x】＝ax3，g【x】＝9x2＋3x－1，当x∈1,2]时，f【x】≥g【x】恒成立，则a的取值范围为____________．6．【2016·唐山一模】直线y＝a分别与曲线y＝2【x＋1】，y＝x＋lnx交于点A，B，则AB的最小值为________．7．已知函数f【x】＝x【lnx－ax】有两个极值点，则实数a的取值范围是____________．8．【2016·郑州模拟】已知函数f【x】＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈－1,1]，则f【m】＋f′【n】的最小值是__

4、______．9．【2015·四川】已知函数f【x】＝2x，g【x】＝x2＋ax【其中a∈R】．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有________．【写出所有真命题的序号】10．【2016·南通一模】已知函数f【x】＝ax3＋3xlnx【a∈R】．【1】当a＝0时

5、，求f【x】的极值；【2】若f【x】在区间【，e】上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．答案精析1.　2.【－∞，－】∪【，＋∞】3．－　4.③5．11，＋∞】解析　f【x】≥g【x】恒成立，即ax3≥9x2＋3x－1.∵x∈1,2]，∴a≥＋－.令＝t，则当t∈，1]时，a≥9t＋3t2－t3.令h【t】＝9t＋3t2－t3，则h′【t】＝9＋6t－3t2＝－3【t－1】2＋12.∴h′【t】在，1]上是增函数．∴h′【x】min＝h′【】＝－＋12＞0.∴h【t】在，1]上是增函数．∴a≥h【1】＝1

6、1.6.解析　令2【x＋1】＝a，解得x＝－1.设方程x＋lnx＝a的根为t【x＞0，t＞0】，即t＋lnt＝a，则AB＝

7、t－＋1

8、＝

9、t－＋1

10、＝

11、－＋1

12、.设g【t】＝－＋1【t＞0】，则g′【t】＝－＝，令g′【t】＝0，得t＝1，当t∈【0,1】时，g′【t】＜0；当t∈【1，＋∞】时，g′【t】＞0，所以g【t】min＝g【1】＝，所以AB≥，所以AB的最小值为.7．【0，】解析　函数f【x】＝x【lnx－ax】【x＞0】，则f′【x】＝lnx－ax＋x【－a】＝lnx－2ax＋1.令f′【x】＝

13、lnx－2ax＋1＝0，得lnx＝2ax－1.函数f【x】＝x【lnx－ax】有两个极值点，等价于f′【x】＝lnx－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象【如图】．当a＝时，直线y＝2ax－1与y＝lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点，则实数a的取值范围是【0，】．8．－13解析　f′【x】＝－3x2＋2ax，根据已知＝2，得a＝3，即f【x】＝－x3＋3x2－4.根据函数f【x】的极值点，可

14、得函数f【m】在－1,1]上的最小值为f【0】＝－4，f′【n】＝－3n2＋6n在－1,1]上单调递增，所以f′【n】的最小值为f′【－1】＝－9.f【m】＋f′【n】]min＝f【m】min＋f′【n】min＝－4－9＝－13.9．①④解析　设A【x1，f【x1】】，B【x2，f【x2】】，C【x1，g【x1】】，D【x2，g【x2】】，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故①正确