2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题专题3 导数及其应用 第21练含解析

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1、训练目标【1】利用导数处理与不等式有关的题型；【2】解题步骤的规范训练．训练题型【1】利用导数证明不等式；【2】利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题；【3】利用导数证明与数列有关的不等式．解题策略【1】构造与所证不等式相关的函数；【2】利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式；【3】处理恒成立问题注意参变量分离.1．已知函数f【x】＝x2－ax－alnx【a∈R】．【1】若函数f【x】在x＝1处取得极值，求a的值；【2】在【1】的条件下，求证：f【x】≥－＋－4x＋.2．【2016·淮安模拟】已知函数f

2、【x】＝ax－1－lnx，a∈R.【1】讨论函数的单调区间；【2】若函数f【x】在x＝1处取得极值，对∀x∈【0，＋∞】，f【x】≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．3．【2016·山西四校联考】已知f【x】＝lnx－x＋a＋1.【1】若存在x∈【0，＋∞】，使得f【x】≥0成立，求a的取值范围；【2】求证：在【1】的条件下，当x＞1时，x2＋ax－a＞xlnx＋成立．4．设函数f【x】＝x2＋ax＋b，g【x】＝ex【cx＋d】．若曲线y＝f【x】和曲线y＝g【x】都过点P【0,2】，且在点P处有相同的切线

3、y＝4x＋2.【1】求a，b，c，d的值；【2】若x≥－2时，f【x】≤kg【x】，求k的取值范围．5．【2016·陕西质量监测】设函数f【x】＝ex－ax－1.【1】当a＞0时，设函数f【x】的最小值为g【a】，求证：g【a】≤0；【2】求证：对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1＜【n＋1】n＋1.答案精析1．【1】解　f′【x】＝2x－a－，由题意可得f′【1】＝0，解得a＝1.经检验，a＝1时f【x】在x＝1处取得极值，所以a＝1.【2】证明　由【1】知，f【x】＝x2－x－l

4、nx，令g【x】＝f【x】－＝－＋3x－lnx－，由g′【x】＝x2－3x＋3－＝－3【x－1】＝【x＞0】，可知g【x】在【0,1】上是减函数，在【1，＋∞】上是增函数，所以g【x】≥g【1】＝0，所以f【x】≥－＋－4x＋成立．2．解　【1】在区间【0，＋∞】上，f′【x】＝a－＝.①若a≤0，则f′【x】＜0，f【x】是区间【0，＋∞】上的减函数；②若a＞0，令f′【x】＝0得x＝.在区间【0，】上，f′【x】＜0，函数f【x】是减函数；在区间【，＋∞】上，f′【x】＞0，函数f【x】是增函数．综上所述，

5、①当a≤0时，f【x】的单调递减区间是【0，＋∞】，无单调递增区间；②当a＞0时，f【x】的单调递增区间是【，＋∞】，单调递减区间是【0，】．【2】因为函数f【x】在x＝1处取得极值，所以f′【1】＝0，解得a＝1，经检验满足题意．已知f【x】≥bx－2，则x－1－lnx≥bx－2,1＋－≥b，令g【x】＝1＋－，则g′【x】＝－－＝，易得g【x】在【0，e2】上单调递减，在【e2，＋∞】上单调递增，所以g【x】min＝g【e2】＝1－，即b≤1－.3．【1】解　原题即为存在x＞0，使得lnx－x＋a＋1≥0，

6、∴a≥－lnx＋x－1，令g【x】＝－lnx＋x－1，则g′【x】＝－＋1＝.令g′【x】＝0，解得x＝1.∵当0＜x＜1时，g′【x】＜0，g【x】为减函数，当x＞1时，g′【x】＞0，g【x】为增函数，∴g【x】min＝g【1】＝0，a≥g【1】＝0.故a的取值范围是0，＋∞】．【2】证明　原不等式可化为x2＋ax－xlnx－a－＞0【x＞1，a≥0】．令G【x】＝x2＋ax－xlnx－a－，则G【1】＝0.由【1】可知x－lnx－1＞0，则G′【x】＝x＋a－lnx－1≥x－lnx－1＞0，∴G【x】在【

7、1，＋∞】上单调递增，∴G【x】＞G【1】＝0成立，∴x2＋ax－xlnx－a－＞0成立，即x2＋ax－a＞xlnx＋成立．4．解　【1】由已知得f【0】＝2，g【0】＝2，f′【0】＝4，g′【0】＝4.而f′【x】＝2x＋a，g′【x】＝ex【cx＋d＋c】．故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.【2】由【1】知，f【x】＝x2＋4x＋2，g【x】＝2ex【x＋1】．设函数F【x】＝kg【x】－f【x】＝2kex【x＋1】－x2－4x－2，则F′【x】＝2kex【x＋2】

8、－2x－4＝2【x＋2】【kex－1】．由题设可得当x≥－2时，F【0】≥0，即k≥1.令F′【x】＝0，得x1＝－lnk，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈【－2，x1】时，F′【x】＜0；当x∈【x1，＋∞】时，F′【x】＞0.即F【x】在【－2，x1】上单调递减，在【x1，＋∞】上单调递增．故F【x】在－2，＋∞】上的最小值为F【x1】．而F【x1】＝2x