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时间:2019-10-26
《2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习:专题专题3 导数及其应用 第21练含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、训练目标【1】利用导数处理与不等式有关的题型;【2】解题步骤的规范训练.训练题型【1】利用导数证明不等式;【2】利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题;【3】利用导数证明与数列有关的不等式.解题策略【1】构造与所证不等式相关的函数;【2】利用导数求出函数的单调性或者最值再证明不等式;【3】处理恒成立问题注意参变量分离.1.已知函数f【x】=x2-ax-alnx【a∈R】.【1】若函数f【x】在x=1处取得极值,求a的值;【2】在【1】的条件下,求证:f【x】≥-+-4x+.2.【2016·淮安模拟】已知函数f
2、【x】=ax-1-lnx,a∈R.【1】讨论函数的单调区间;【2】若函数f【x】在x=1处取得极值,对∀x∈【0,+∞】,f【x】≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.3.【2016·山西四校联考】已知f【x】=lnx-x+a+1.【1】若存在x∈【0,+∞】,使得f【x】≥0成立,求a的取值范围;【2】求证:在【1】的条件下,当x>1时,x2+ax-a>xlnx+成立.4.设函数f【x】=x2+ax+b,g【x】=ex【cx+d】.若曲线y=f【x】和曲线y=g【x】都过点P【0,2】,且在点P处有相同的切线
3、y=4x+2.【1】求a,b,c,d的值;【2】若x≥-2时,f【x】≤kg【x】,求k的取值范围.5.【2016·陕西质量监测】设函数f【x】=ex-ax-1.【1】当a>0时,设函数f【x】的最小值为g【a】,求证:g【a】≤0;【2】求证:对任意的正整数n,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<【n+1】n+1.答案精析1.【1】解 f′【x】=2x-a-,由题意可得f′【1】=0,解得a=1.经检验,a=1时f【x】在x=1处取得极值,所以a=1.【2】证明 由【1】知,f【x】=x2-x-l
4、nx,令g【x】=f【x】-=-+3x-lnx-,由g′【x】=x2-3x+3-=-3【x-1】=【x>0】,可知g【x】在【0,1】上是减函数,在【1,+∞】上是增函数,所以g【x】≥g【1】=0,所以f【x】≥-+-4x+成立.2.解 【1】在区间【0,+∞】上,f′【x】=a-=.①若a≤0,则f′【x】<0,f【x】是区间【0,+∞】上的减函数;②若a>0,令f′【x】=0得x=.在区间【0,】上,f′【x】<0,函数f【x】是减函数;在区间【,+∞】上,f′【x】>0,函数f【x】是增函数.综上所述,
5、①当a≤0时,f【x】的单调递减区间是【0,+∞】,无单调递增区间;②当a>0时,f【x】的单调递增区间是【,+∞】,单调递减区间是【0,】.【2】因为函数f【x】在x=1处取得极值,所以f′【1】=0,解得a=1,经检验满足题意.已知f【x】≥bx-2,则x-1-lnx≥bx-2,1+-≥b,令g【x】=1+-,则g′【x】=--=,易得g【x】在【0,e2】上单调递减,在【e2,+∞】上单调递增,所以g【x】min=g【e2】=1-,即b≤1-.3.【1】解 原题即为存在x>0,使得lnx-x+a+1≥0,
6、∴a≥-lnx+x-1,令g【x】=-lnx+x-1,则g′【x】=-+1=.令g′【x】=0,解得x=1.∵当0<x<1时,g′【x】<0,g【x】为减函数,当x>1时,g′【x】>0,g【x】为增函数,∴g【x】min=g【1】=0,a≥g【1】=0.故a的取值范围是0,+∞】.【2】证明 原不等式可化为x2+ax-xlnx-a->0【x>1,a≥0】.令G【x】=x2+ax-xlnx-a-,则G【1】=0.由【1】可知x-lnx-1>0,则G′【x】=x+a-lnx-1≥x-lnx-1>0,∴G【x】在【
7、1,+∞】上单调递增,∴G【x】>G【1】=0成立,∴x2+ax-xlnx-a->0成立,即x2+ax-a>xlnx+成立.4.解 【1】由已知得f【0】=2,g【0】=2,f′【0】=4,g′【0】=4.而f′【x】=2x+a,g′【x】=ex【cx+d+c】.故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.【2】由【1】知,f【x】=x2+4x+2,g【x】=2ex【x+1】.设函数F【x】=kg【x】-f【x】=2kex【x+1】-x2-4x-2,则F′【x】=2kex【x+2】
8、-2x-4=2【x+2】【kex-1】.由题设可得当x≥-2时,F【0】≥0,即k≥1.令F′【x】=0,得x1=-lnk,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈【-2,x1】时,F′【x】<0;当x∈【x1,+∞】时,F′【x】>0.即F【x】在【-2,x1】上单调递减,在【x1,+∞】上单调递增.故F【x】在-2,+∞】上的最小值为F【x1】.而F【x1】=2x
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