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1、(江苏专用)2018版高考数学专题复习专题3导数及其应用第22练利用导数研究函数零点问题练习理训练冃标(1)利用导数处理与函数零点有关的题型:(2)解题步骤的规范训练.训练题型⑴利用导数讨论零点的个数；⑵利用导数证明零点的唯一性；⑶根据零点个数借助导数求参数范围.解题策略(1)注重数形结合；(2)借助零点存在性定理处理零点的存在性问题；结合单调性处理零点的唯一性问题；(3)注意参变量分离.1.(2015•广东)设日>1,函数/(^)=(1+/)eA—a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(—8,+8)上仅有一个零点.2.函数
2、=^x—kxt其中实数斤为常数.(1)当力=4吋，求函数的单调区间；(2)若曲线y=g与直线y=&只冇一个交点，求实数斤的取值范围.”Y—23.(2016•南京、盐城、徐州二模)已知函数A^)=l+ln，其中&为常数.x⑴若k=0,求曲线y=f{x)在点(1,f(l))处的切线方程;(2)若k=5,求证：/'(方有且仅有两个零点；(3)若斤为整数，且当Q>2时，tx)>0恒成立，求斤的最大值.(参考数据In8=2.08,In9=2.20,In10=2.30)x4.(2015•山东)设函数f(x)=(x+a)]n%,g{x)=~.已知曲线y
3、=f(x)在点(1,Al))e处的切线与直线2x—y=0平行.⑴求臼的值；(2)是否存在自然数斤,使得方程f(x)=g3在&&+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k；如果不存在，请说明理由.5.已知函数f(x)=(x+a)e”,其中e是自然对数的底数,aER.(1)求函数f(0的单调区间；(2)当日＜1时，试确定函数g(x)=f(x—日)一,的零点个数，并说明理由.答案粹析1.⑴解r(劝=2肘+(1+#)『=(#+2卄l)e"=(x+l)B,VxER,f(x)MOill成立.・・・f(0的单调递增区间为(―®,+-).(2)证明・・・f(0
4、)=l—臼，f(a)=(1+a2)ea—a,*.•a>1,AA0)<0,Ac?)>2c?e;i—a>2a—a=a>0,AAO)•f@)VO,・・・f(x)在(0,臼)上有一个零点，又・・・fCO在(一8,+-).1:递增，・・・心)在(0,刃上仅冇一个零点，.•・£(/)在(一8,+8)上仅有一个零点.2.解(1)因为f(/)=#—«,当W=4时，f(劝=#一4,令尸(x)=(—4=0,所以x=2,疋=—2.f(方、f(0随/的变化情况如下表：X(一8,—2)-2(—2,2)2(2,+oo)厂3+0——0+f®极人值极小值所以H方的单调递
5、增区间是(一8,-2),(2,+8)；单调递减区间是(一2,2).(2)令g(x)=/V)—k,由题意知，gd)只有一个零点.因为0(劝=尸(x)=x—k.当&=0时，所以gd)只有一个零点0.当&<0吋，g'(^)=x~k>0对xWR恒成立，所以gd)单调递增，所以g(x)只有一个零点.当&>0时，令3=F(方=,一《=0,解得x=yp(或血=gf(a),g(x)随x的变化情况如卜"表：X(—8,—y[k)—y[k(-讹，屮)(y[kf+°°)g3+0——0+g(x)极大值极小值g3有且仅有一个零点等价于g(—羽)<0,即彳纸斥一&vo
6、,解得o<«<#•9综上所述，&的取值范围是k<-1.(1)解当&=0时，A%)=l+ln%.因为尸(%)从而ff(1)=1.X乂f(l)=l,所以曲线y=/(%)在点(1,f⑴)处的切线方程为y—l=x—,即x—y=0.(2)证明当k=5时，f(x)=lnx+——4.因为尸(力=匚®,所以当(0,10)时，ff(劝<0,fd)单调递减；当(10,+8)时,f(x)>0,fd)单调递增.所以当%=10时，代方有极小值.因为r(10)=ln10-3<0,f(l)=6>0,所以fd)在(1,10)之间有一个零点.因为f(e)=4+玛一4>0,
7、e所以fd)在(10,e°)之间有一个零点,从而H方有且仅有两个不同的零点.kv—2⑶解方法一由题意知，1+ln>0对(2,+g)恒成立,即X孚尹对胆⑵+◎恒成立.令力(力=x—2设r(%)=%—21nx—.贝ljvf(方=.当(2,十8)吋，v'(劝>0,所以卩(方在(2,+8)上为增函数.因为r(8)=8-21n8—4=4一21n8<0,r(9)=5~21n9>0,所以存在浙丘(8,9),k(%o)=0,即心一21nAb—4=0.当(2,y)时，/]'(0<0,力(劝单调递减；当(.vo,+8)时，力'匕)>0,力(0单调递增.所以当
8、”=必时，力3的最小值为力仏)="+''?逊因为In才严土亍1,所以力仏)=je(4,4.5),故所求的整数&的最大值为4.kY—2方法二山题意知，1+lnX—―：>0对(2,+
