阅读与思考海伦和秦九韶 (4)

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1、假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  而公式里的p为半周长：  p=(a+b+c)/2    注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。    由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案

2、。证明过程与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为  cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab  S=1/2*ab*sinC  =1/2*ab*√(1-cos^2 C)  =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]  =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]  =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]  =1/4*√[(a+b

3、)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]  =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]  设p=(a+b+c)/2  则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,  上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]  =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）  我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术

4、》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。  所谓“实

5、”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以  q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}  当P＝1时，△ 2＝q,  △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}  因式分解得  △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]  =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]  =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)  =1/16(c+a+b)(a

6、+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)  =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]  =p(p-a)(p-b)(p-c)  由此可得：  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]  其中p=1/2(a+b+c)  这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。  S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.  根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：  已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=

7、6，求四边形ABCD的面积  这里用海伦公式的推广  S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）  代入解得s=8√ 3证明（3）  在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c  O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长  有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1  r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r  ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2  

8、∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)  =[