阅读与思考海伦和秦九韶.doc

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1、海伦公式初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：海伦公式：三角形的面积其中：、、分别是三角形的三边长，证明（1）：由余弦定理可知：，由此得出由可得：，，，，因此：3由三角形面积公式即得上述证明用到了三角函数、，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。CABT图1TBAC图2是△的边上的高，点为垂足。记，，，，（见上图）。证明（2）：若△是锐角三角形（图1），则由勾股定理有由（1）式得出，带入（2）式：。展开，即得，由此式解得，类似于证明（1），得出，由于三角形面积，由上式即得。3若△是钝角三角形（

2、图2），不失一般性，设，则由勾股定理有类似于△是锐角三角形的情况，可得，因而亦得。若△是直角三角形（图2），不失一般性，设，由勾股定理有。故，此时仍有。关于海伦公式（Heron'sformula或Hero'sformula）的历史海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作亚历山大里亚的海伦（希腊语：Ἥρων

3、ὁἈλεξανδρεύς）（公元10年－70年），是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenisticcivilization）科学传统方面享负盛名。我国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四

4、约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为，中斜记为，小斜记为，秦九韶的方法即相当于海伦公式。3