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1、1.3.1函数的单调性与导数导学案)【学习目标】1.探索函数的单调性与导数的关系；会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。2•能由导数信息绘制函数大致图象。【学习重点】探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。【学习难点】利用导数信息绘制函数的大致图象。【学习方法】：发现式、启发式。【学习过程】一.回顾与思考1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断曲的单调性，如何进行？(分别用定义法、图像法完成)二.新知探究函数的单调性与导数之间的关系【思考】如图(1),它表示跳水运动中高度力随时问r变化的函数/谊)=_4.9八+6.5/+10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随
2、时间f变化的函数卩⑴二"⑴=一9&+6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度力随时间r的增加而增加，即/?⑴是增函数•相应地，.(2)从最高点到入水，运动员离水面的高力随时间f的增加而减少，即力⑴是减函数.相应地，.【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的
3、符号之间的关系.【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.(1)函数y=x的定义域为—，并且在定义域上是,其导数;(2)函数y=/的定义域为_,在(_oo,0)上单调,在(0,+°°)上单调；而y=（x2y=2x,当兀＜（）时，其导数—；当兀〉o时，其导数—；当兀=o时，其导数—o（3）函数）=疋的定义域为在定义域上为；而y=（x3y=3%2,若wo,则其导数当*0时，其导数_；（4）函数）U丄的定义域为（-8,0）U（0,+oe）,在（-00,0）±单调,在（0,+oO）上单调而：/=（丄）'=一一,因为兀工0,显然）0・x%•【总结】以上四个函数的单调性
4、及其导数符号的关系说明，在区间（。小）内，如果函数y=/⑴在这个区间内单调递增，那么；如果函数y=/（x）在这个区间内单调递减，那么■【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系?【探究】如图，导数八兀）表示函数/⑴在点区,儿）处的切线的斜率.在兀=兀（）处，/'（x0）＞0,切线是“”式的，这时，函数/（兀）在兀。附近单调；在兀=州处，八兀（））＜0,切线是“”式的，这时，函数/（兀）在£附近单调•知识归纳函数的单调性与导数的关系:在某个区间⑺,b）内，如果/（X）＞0,那么函数）'=/（X）在这个区间内；如果/（X）＜0,那么函数y=/U）在这个区间内特别
5、的，如果/'W=0,那么函数y=f（x）在这个区间内是问:/©）＞（）能推出几兀）为增函数，反过来成立么？一.知识应用P90例1,例2知识归纳求解函数y=/(%)单调区间的步骤：(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求导数y=f(x)；(1)解不等式/(%)>0,得到函数的单调递增区间；(2)解不等式/(x)<0,得到函数的单调递减区间；.【变式训练】判断下面函数的单调性，并求出单调区间(1)y=^>^~(2)y=^)ex—3x@y=xInx函数的导数与函数的增减速度一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡悄
6、”向上或向下)；反之，函数的图象就较“平缓”・【例3如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找岀与各容器对应的水的高度力与时间『的函数关系图像.(1)<2)<3)(4)【答案】四•课堂练习P93五.课堂检测1函数尸xcosx—sinx在下列哪个区间内是增函数（）A.（需）22C.（乎，竽）22B.（兀，2龙）D.（2兀,3兀）2.已知函数f（力mx34^x2—打1在R上是减函数，求实数a的取值范围.3•设f/型是函数f©的导函数，L匆的图象如下，则f匆的图象的大致形状:（教师引导学生分析解答）应用导数信息确定函数大致图像，利用导数的止负
7、可以判断函数的增减性，求函数的单调区间，同样，利用导数的正负还可以绘制函数的大致图象。五.小结通过这节课的学习，你都学到了什么？（1）知识方面：（2）方法方面：六、作业设计课木31页,A组1,2
