函数的单调性与导数导学案

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1、函数的单调性与导数导学案静宁一中王斌斌课题函数的单调性与导数学习目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。学习重点探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。学习难点探索函数的单调性与导数的关系。教学方法问题启发式学生学习过程师生合作探究复习1：导数的几何意义复习2：函数

2、单调性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）问题提出：判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）那么如何判断的单调性呢？探究任务一：函数单调性与其导数的关系：问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度h的图像。尝试用图像和定义去解决。【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，。（2）从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，。通

3、过观察图像,运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现这两个函数图像有什么联系吗?问题2：结合函数，，，，观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？探究任务二：与函数单调性的关系：问题5：若函数的导数，那么会是一个什么函数呢？问题6：在区间上，则函数区间必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由。问题7：函数在区间

4、上为增函数，则在区间上函数的定义域为，并且在定义域上是函数，其导数。函数的定义域为，在上单调，在上单调；而，当时，其导数；当时，其导数；当时，其导数。函数的定义域为，在定义域上为函数；而，若，则其导数，当时，其导数。函数的定义域为，在上单调，在上单调；而，因为，显然。以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么；如果函数在这个区间内单调递减，那么。如果，那么函数在这个区间内是函数。通过实例说明问题6和7是否成立,并理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的充分性与必要性。成立.你认为这句话对吗？说明理由。问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的

5、题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？例1:已知某函数的导函数的下列信息:当当当试画出函数图像的大致形状。问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？例2：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:（1）（2）（3）（4）拓展研究：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数

6、关系图像。思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？课堂练习确定下列函数的单调区间(1)y=(2)y=3x－x3结论：在区间上（且）是函数区间必为增函数的条件；在区间上（且）是函数区间必为减函数的条件。作出满足题意的函数图像。通过例2的学习，总结出利用导数求单调区间的步骤：（1）确定函数的；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。由导数的几何意义知，增加与减少也由快慢之分，以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高

7、度增加得，以后高度增加得越来越。一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“”；反之，函数的图像就“”一些。课堂小结1.函数导数与单调性的关系。2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用。3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂。作业设计课本98页，A组1，2课后思考：若将例3中高度h和时间t的关系变为横坐