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1、浅谈可逆矩阵的求法逆矩阵是数学中重要的基本概念之一，在《高等代数》和《线性代数》都占有重要的地位，同时，它是T程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学T具，虽然《高等代数》和《线性代数》均有介绍逆矩阵的一些求法，但知识点比较分散，对适用的题型并没有给出明确的说明，木文从逆矩阵的定义、逆矩阵的性质、矩阵可逆的条件、求逆矩阵的常用方法、逆矩阵在实际问题中的简单应用这五个方面来论述，以便更好更快地解决有关逆矩阵的问题.求解方程血=可以归结为对于给定的。求q"使=1•现在把这个想法用到Ax=B,xA=B上，那么问题就变为对于给定的
2、A,能否找到A"使=AA'1=E.为此引入如下的定义一、逆矩阵的定义设A是数域P上的一个方阵，如果存在数域P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，此时〃称为A的逆矩阵。当矩阵A可逆吋，逆矩阵山A唯一确定，记为A'1.二、逆矩阵的性质(1)可逆矩阵A的逆是唯一的，H.(A'1)1(2)设A是可逆矩阵，则A'可逆，且(AT=(")'.(3)设人是可逆矩阵，则A*也可逆.(4)设A是可逆矩阵,则
3、A_,
4、=.(5)设A是可逆矩阵,则屮可逆，且(£丁=(“)".(6)设A是可逆矩阵，若AB=AC，则B=C.(7)设A
5、是可逆矩阵，数RhO,则L4可逆，而丄(8)如果A是mxn矩阵，P是加阶可逆矩阵，Q是斤阶可逆矩阵，则r(4)=r(PA)=r(A(2)=厂(P4Q).(9)A、〃都是〃阶可逆矩阵，则可逆，一几(AB)"一般地，加个卅阶矩阵，4(15上加)的积可逆，只(九42・・・傀厂=4；/1爲・・・爲
6、厝.三、矩阵可逆的条件(1)〃阶方阵4可逆的充分必要条件是
7、a
8、hO.(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换化为刃阶单位矩阵.(3)阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积.(4)〃阶方阵A可逆的充分必要
9、条件是4的行(列)向量组线性无关.(5)〃阶方阵4可逆的充分必要条件是线性方程组Ar=0仅冇零解.(6)〃阶方阵A可逆的充分必要条件是対任一斤元列向量b,方程组Ax=b均有唯一解.(7)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值不为零.(8)正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的.(9)任何可逆实方阵都可以分解为正交阵Q和上三角阵/?的乘积，其中的主对角元均为正.(10)设A是一个刃阶实可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S和正交阵P,使A=PS.四、求逆矩阵的常用方法1、定义法A是数域P上的一个斤阶方阵，设如果存在P上的”阶方阵B,
10、使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称3为A的逆矩阵，当A矩阵可逆时，逆矩阵由A唯一确定，记为A-1.例I：求矩阵21-12-12的逆矩阵.解：因为
11、4卜0,所以4^存在,X2]X32兀33._223_X2叮_100_于是1-10X2X22兀23—010-121_X3兀32尢33-001由矩阵乘法及矩阵相等得Xqi=1,兀22=—5,X23=—3x31=-1,x32=6,x33=4A'111-1-4-56-3-342.伴随矩阵法由矩阵可逆的条件知,当
12、川工0时，A'1例2：证实矩阵人=-b可逆，当J1仅当A不是零矩
13、阵，并在当A工0时，求A）a当AhO时，有
14、內工0,故”aa2+b2h证明：4可逆，0
15、內=亍+方2工00。、b屮至少有一个不为零oAhO3、初等变换法初等行变换:初等列变换:注：伴随矩阵法求矩阵的逆，一般适用丁•矩阵的阶数较低吋.（AIE）初等行变换》（疋
16、犷）（a（f、n初等列变换》匚冷丿刖例3：用初等行变换求矩阵「23rA=013125的逆矩阵.解■231100_2500r_125001_冲）=0130100130100130101■25001_231100_00-611-21134"100_125001■1250
17、016163013010T01301001013-1220-1-910-200111111663_001~6~63_人■-1V■A■•■.A_•■.心・A--1■A"'A■••■■•A；14._A_,_(1)⑵4、分块矩阵法常川分块矩阵求逆矩阵的类型如下:「4c]-_0B—yf—0CB⑶⑷A-'-A~]CB10B'A~l0B~x于是1A-1=0013~~632_1643-1]_3（其屮4（/=l,2,・・・$）均为可逆矩阵，A、3都为可逆矩阵）（其中久3分别是R级和厂级的「ij•逆矩阵,证明：设D"=1X2，于是"A0
18、__X2X22_CB_X21阵）,其它可类似证明.级和级厂单位矩阵，乘出并比较等式两边，得Ek0A兀11=EpAxr—0Cx]}+Bx2i=0Cxl2+Bx22=Er由第一式得xl[=A-x[2=A-]0=09代入第四式，得x22=B~l,代入第三式，得jBXr=_Ca*h=CAI%=_B"CA」因
