浅谈逆矩阵的求法

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1、吉林师范大学毕业论文（设计）论文分类号：0151.21密级：无浅谈逆矩阵的求法数学学院数学与应用数学赵殿饪学院.专业：学生姓名:年级班:指导教师:2007级3班范钦杰（教授）2011年4月15日浅谈逆矩阵的求法赵殿饪(吉林师范大学数学学院2007级3班吉林四平136000)指导教师：范钦杰(教授)摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同炬阵的不同特点简单介绍了儿种求逆炬阵的方法.定义法、伴随炬阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用HamitonCalcy定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵，并対部分进行了简

2、耍论证.关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵中图分类号：0151.21OntheInverseMatrixMethodZhaoDian-yu(Class3Grade2007,DepartmentofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin136000)DirectiveTeacher:FanQin-jie(professor)Abstract：Inordertomoreeasilysolvetheinverseofamatrix,thismatrixaccordingtothedifferentchara

3、cteristicsofthedifferentintroducedseveralsimpleinversematrixmethod・thedefinitionofkuv,withthematrixmethod,elementarytransformation,blockmatrixmethod,solveequationsbytheuseofCramersruletosolvethedeterminantmethod,identicaldeformationmethod,theuseofHamilon_CaleyTheorem,splicingandother

4、methodstofindnewmatrixinverse,andpartofabriefdemonstration.Keywords：theinverseofamatri；blockmatrix；elementarytransformation；withthematrixCLCN0:O151.211、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA二E,则称A是可逆的，乂称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为At2、矩阵可逆的条件(1)n阶方阵A可逆的充分必耍条件是IAI丰0(也即r(A)=n)；(2

5、)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵：(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA二E),则A对逆，KA-1=B.3.逆矩阵的性质设A,B是n阶可逆矩阵,则(1)(A*1)•'=A；(2)若kH0,则kA可逆，且(kA)"(3)AB可逆，且(AB)"二B」A“；(4)人丁可逆,且(At)•*=(A-1)T；(5)A14可逆,且(Ak)-'=(A'1)(6)IA‘l

6、=IA「i；(7)如果A是mXn矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如杲存在P上的n阶方阵B,傅导AB=BA=E,则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵山A惟一确定，记为A*1.例1：设人为门阶矩阵，冃满足2A2・3A+5E=0,求A".【解】v2A2・3A+5E=0・•.2A2・3A=-5E.・.--A2--A=E55?3?3•••A(—A・_E)=A・_E=E5555.••A可逆且55方法2伴随矩阵法：A、占A*.定理n阶

7、矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.冃=丄A.A2每…人22…AhAi2Ann)其屮Ay是IAI屮元素ay的代数余子式•矩阵rAiA2A2!…A22…Ah观2称为矩阵A的伴随矩阵,记作A*,于是有二占A*.①对于阶数鮫低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.，其伴随矩阵注意A*=（街）厲元素的位置及符号.特别对于2阶方阵A二/、勺2-％2，即伴随矩阵具有“主対角元素互换，次对角元素变号”的规律.fl21a\）②对于分块炬阵(AB(CD)不能按上述规律求伴随矩阵.例2：1-3一5丿求a".【解】IAI=2丰・・・A可逆

8、.由己知得A

9、】=・5,