浅谈逆矩阵的求法范文

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1、浅谈逆矩阵的求法范文浅谈逆矩阵的求法1、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB二BA二E,则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵•当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定，记为A'1.2、矩阵可逆的条件(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是

2、A

3、工0(也即r(A)二n);(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵；(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积;(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；(5)对于n阶方阵A,若存在n

4、阶方阵B使得AB二E(或BA二E),则A可逆，且A「1二B.3、逆矩阵的性质设A,B是n阶可逆矩阵，则(1)(AT)T二A;1(2)若k工0,则kA可逆，且(kA)一1二匚A「1；(3)AB可逆，且(AB)t二B~1A'1;(4)X可逆，且(屮)t二(ATt;(5)X可逆，且(八)t二(f)k；(6)

5、A1

6、=IA「；(1)如果A是mXn矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r(A)二r(PA)二r(AQ)二r(PAQ)・4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB二BA二E,则称A是可逆的，又称B

7、为A的逆矩阵•当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A「1.例1:设A为n阶矩阵，且满足2A—3A+5E=0,求A「1.【解】2A2・3A+5E二02A2・3A=・5E・-A2・-A=E552323A(—A・—E)二・—A・—E二E5555•••A可逆且A"二・一A・-E55方法21伴随矩阵法：AT二面A*.定理n阶矩阵A二为可逆的充分必要条件是A非奇异•且其中Ay是

8、A

9、中元素钏的代数余子式•矩阵4.A,2A4.称为/A-1=丄勺2^22A/2制4A山丿矩阵A的伴随矩阵,1记作A*,于是有A「1二面A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余

10、子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵•注意A*二（Aji）nXn元素的位置及符号.，即伴特别对于2阶方阵A随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵"AB、不能按上述规律求伴随矩阵."101、例2:已知A二210,求A「1.-32一5‘7【解】・・・A可逆.由已知得方法3A_1=KiAu=-5,A/二10,A1?尸7A2i=2,A22二-2A=-2A31=-1,A32=2A=S“331<511)r-52-1、22A*二110-22—5-112b一21丿7!'2丿<2初等变换法：（AE）初等行变换》（EA'1）注①对于阶数较高（n$

11、3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.初等列变换、136]_2]_6632J_6-1-1"A-1<屮0]S0、-1‘犷0'&B丿,0B-1丿①B丿^-B'DA1B,()B丿<0叭

12、用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则:(0B'1°,00II00-2152002、100>r231100、25001><125001)(AE)—013010T013010013010<125001丿<231100丿<00-611_2>(<125001、125001013010T013010<01-910-2111/()()1663丿【解】将A分块如下:-2其中2}（1一2、可求得从而A''1-2、—Ay-<12、[-25；1人1「3<-11丿]iaia(00132、3001~313Ia10丿1-200<-250方法5解方程组求逆矩阵：

13、根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由A「1A二E两端对应元素相等，依次可得只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵.00()、2°°的逆矩阵.130214丿【解】，1设A-*=先求AT中主对角线下的次对角线上的^42^43元素X21,X32,X43,再求X31,X42，最后求X41•设E为4阶单位矩阵，比较方法6定理1(0,0Q二(ai这里ai€定理21+—=4X^2X43+10=0；解得,

14、X43^43021200310、004丿=E的两端对应元素，得到2