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1、浅谈逆矩阵的求法论文所在系：数学系老师：熊老师年级：10数本（1）学号：201040431036姓名：谢明静浅谈逆矩阵的求法论文摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，木文根据不同矩阵的不同特点简单•介绍了儿种求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用HamitonCaley定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵K逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,贝0
2、称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵•当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A".2、矩阵可逆的条件(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是IA丨H0(也即r(A)=n)；(2)n阶方阵AnJ逆的充分必耍条件是A町以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵；(3)n阶方阵A可逆的充分必耍条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA=E),则A可逆，iLA'*=B.3、逆矩阵的性质设A,B是n阶可逆矩阵，则(1)(A“)"=A
3、；(2)若kH0,则kA可逆，且(kA)£A'1；k(3)AB可逆,且(AB)"二B"A"；(4)人丁可逆，且(At)■*=(AJ)T；(5)Afj逆，且(Ak)•'=(AJ)3(6)IA‘l=IA「】；(7)如果A是mXn矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的，乂称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A'1.例1：设A为n阶矩阵，且满足2A2・3A+
4、5E=0,求A」.【解】・・・2A2・3A+5E=0•・・2A?・3A=-5E・・・--A2--A=E552323•••A(-A--E)=—A--E=E5555•••A可逆JDLa!=--a--e方法255人21…亀、定理n阶矩阵A=如为nJ逆的充分必耍条件是A非奇界.且f二二A2“22…4,2••••••••••••…俎＞伴随矩阵法:其中A”是IAI中元素ay的代数余子式.矩阵1222"2称为矩阵A的伴随矩阵,记作A*,于是有A"=占A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元索的代数余子式易于计算的矩阵可川此法求其逆矩阵.注意A*=（Apn
5、xn元素的位置及符号.特别对于2阶方阵人二，其伴随矩阵a2a22>勺2一吗2，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.^21a\）（AB}②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.tD）‘101、例2：已知A=210,求A“.「32-5,【解】VIAI=2H0・・・A可逆•由已知得A/-5,A12=10,A13=7A21=2,A22=-2,A23=-2A31=-1A32=2,A33=1A*=<-51072-2-2［丿r_5~257<2方法3初等变换法：（AE）初等行变换）（e人-1）注①対于阶数较高（心3）的矩阵，采用初等行
6、变换法求逆愆阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.初等列变换、(E)1丿7②也可以利用求得A的逆矩阵.可利川（AB）③当矩阵A可逆时,初等列变换/求得A'B和CAt这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求H〔了A'1B或CAJ.0］、例3:设A二110，设求A".U01>011100、<1011001><10110or解：(心)=1101010T1101010T01-1101-1J011001丿<0011100丿<0011100丿仃011001、‘1001-101、匚10P0101
7、01-1T010111-1•于是犷二11・1,0001100丿001100丿,100,方法4用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则:AC、-1-A-1CB~[>(A0、-1°〕fA0、-1F0、0肘丿B丿、0B;<°丿0-1（0B0丿0)"0052、例4：已知A=0021,求A".1-2001100丿【解】将A分块如下:A、。丿其屮<21,A=121丄丿V1从而/0o:132、3宀（0矿、0o:1~313、A-1o)1/•••••••••••••••1-2:00「25:00,11♦<1-2、.1#1厂12]可求得力「=—4=1
8、"「二一人一<-25丿&丨人丨“3,-11丿方法5解方程组求逆矩阵:根据町逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵「几上（下）三角矩阵逆矩阵主对角
