浅谈逆矩阵的求法[1]

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1、浅谈逆矩阵的求法学院、专业：学生姓名：年级班：指导教师：2012年4月15日浅谈逆矩阵的求法摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，木文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几利「求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克菜姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Ilamiton_Caley定理法、拼接新知阵等多种方法求逆知「阵,并对部分进行了简耍论证.关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵中图分类号：0151.21OntheInverseMatrixMethodZhaoDian-yu(Class3Grade200

2、7,DepartmentofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJi1in136000)DirectiveTeacher:FanQin-jie(professor)Abstract:Tnordertomoreeasilysolvetheinverseofamatrix,thismatrixaccordingtothedifferentcharacteristicsofthedifferentintroducedseveralsimpleinversematrixmethod・thedefiniti

3、onoflaw,withthematrixmethod,elementarytransformation,blockmatrixmethod,solveequationsbytheuseofCramer'sruletosolvethedeterminantmethod,identicaldeformationmethod,theuseofHamiton_CalcyTheorem,splicingandothermethodstofindnewmatrixinverse,andpartofabriefdemonstration・Keyword

4、s：theinverseofamatri；blockmatrix；elemcntarytransfonmitior)；withthematrixCLCN0:O151.211、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的，乂称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A".2＞矩阵可逆的条件(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是IAlH0(也即r(A)=n)；(2)n阶方阵AnJ逆的充分必耍条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵；(3

5、)n阶方阵A町逆的充分必耍条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA=E),则A可逆，iLA_,=B.3、逆矩阵的性质设A,B是n阶可逆矩阵，则■A1-k-(1)(A“)"=A；(2)若kH0,则kA可逆，且(kA)(3)AB可逆，且(AB)"二B“A“；(4)人丁可逆，且(At)-!=(A'1)T；(5)A*可逆，且(Ak)■*=(A4)3(6)IA」l=IAl"；(7)如果A是mXn矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r

6、(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的，乂称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A".例1：设A为n阶矩阵，且满足2A2・3A+5E二0,求A'1.【解】•・•2A2・3A+5E二0・•.2A2-3A=-5E・•.--A2--A=E552393A(—A・-E)=--A--E=E5555.・.A可逆且AJ=■兰A・55方法2伴随矩阵法：AJ=面A*41…亀、定理n阶矩阵A=弧为可逆的充分必要条件

7、是A非奇界.且二人2人22…A,2同••••••••••••人2”…A,n>其中A”是IAI中元素夠的代数余子式.矩阵1222"2称为矩阵A的伴随矩阵,lAnA2n…A,n）记作A*,于是冇A“=占A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余了式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（每）曲元素的位置及符号•特别対于2阶方阵人=如如，•其伴随矩阵a2a21JJ不能按上述规律求伴随矩阵.4*=勺2-^12，即伴随矩阵具冇“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.。21Q]]>方法3初等变换法:A】严・5,人21=2,A31

8、■1,(-5宀甘AJ

9、107A12=10,A13=7人22=・2,A23A322,-2<_52-1、~21-22—5-1-217/-1<2人33=1]_2（A卫）空逊〉（E"）r