逆矩阵的求法[1]new

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1、2006年6月阴山学刊Jun.2006第20卷　第2期YINSHANACADEMICJOURNALVo1.20No.2逆矩阵的求法X高　明(包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030)　　摘　要:矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题,本文给出了逆矩阵的几种求法。关键词:初等变换;伴随矩阵;分块矩阵;特征多项式中图分类号:151121　文献标识码:A　文章编号:1004-1869(2006)02-0014-03-1-1-1-1-1-1-11　伴随矩阵法A+AB(D-CAB)-AB(D-CAB)-1-1-1-1-1-1

2、定理:n阶矩阵A可逆ZdetA≠0且在A可逆时A=-(D-CAB)CA(D-CAB)133证:设A、D分别是γ阶,S阶的方阵,则:·A,其中A是A的伴随矩阵。detAABErO→ab-1CDOEs例1:A=,ad-bc=1,求AcdABErOab→-1-1解:∵

3、A

4、==ad-bc=1≠0OD-CAB-CAEscd-1-1-1-1-1-1-1-1ErOA+AB(D-CAB)CA-AB(D-CAB)-113d-b∴A可逆,且A=·A=OEs-(D-CA-1B)-1CA-1(D-CA-1B)-1

5、A

6、-ca-1注:此方

7、法适合于二、三阶方阵。AB∴=2　初等变换法CD-1-1-1-1-1-1-1-1如果A可逆,则A可通过初等行变换化为单位矩阵E,A+AB(D-CAB)CA-AB(D-CAB)-1-1-1-1-1即存在相应的初等矩阵E1、E2⋯⋯ES使-(D-CAB)CA(D-CAB)-1但是,直接运用该方法求分块矩阵的逆,由于这个公式ES⋯E2E1A=E(1)用A右乘上式两端,得-1很难记忆,所以使用起来也不很方便,下面给出另一种分块ES⋯E2E1E=A(2)矩阵求逆法,本文暂且称之为化上(下)三角分块求逆法。比较(1)、(2)两

8、式,可知当A通过行初等变换化为E的4　化上(下)三角分块矩阵求逆法同时,对单位矩阵E作同样的行初等变换,就化为A的逆矩-1CBCO阵A。同样,只用列的初等变换也可以求逆矩阵。由法3知(上三角分块矩阵),(下三角ODBD3　分块矩阵求逆法分块矩阵),当D可逆时。有些阶数较多的矩阵,用分块矩阵求逆较方便,在一般-1-1-1-1CBC-CBD的高等代数教材上,都给出了用待定法或利用分块初等矩阵=-1ODOD来求一个可逆分块阵的逆矩阵的方法,但这些方法都比较复-1-1COCO杂,文[3]给出了较简便的方法,即(1)对(A,

9、En)中的子块=BD-1-1-1-DBADEn必须进行分块,使En是一个分块单位矩阵;(2)把“子块若将一可逆矩阵A经过行(列)初等变换化为分块后形作为元素”处理时,必须遵守“左行右列”的规则,即变行必BC须从左乘,变列必须从右乘。如的矩阵后再求逆则方便许多,即:OD例3:设下列各方阵的逆矩阵都存在,证明:BC-1Es⋯E2E1AQ1⋯Qt=(1)ABOD=CD将(1)左右两边求逆,得X收稿日期:2006-03-21作者简介:高明(1971-),女,蒙古族,山东莱阳人,研究方向:代数。14©1994-2008Chi

10、naAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.netB-1-B-1CA-1然后再求其逆。-1-1-1-1-1Qt⋯Q1AE1⋯ES=OD-1定理:设A为n阶可逆矩阵,且A=B+XCY-1B-1-B-1CD-1其中B已知,C是r×r可逆阵,r≤n-1A=Q1⋯QtEs⋯E2E1-1-1-1又设C+YBX可逆,则OD-1-1-1-1-1-1-12410A=B-BX(C+YBX)YB(1)103213456-1例4

11、:A=,求A-15-31224560102例5:A=23356241023446103223455解:A=→-15-31-10102-121402140解:A=-1+13021302-1→-1-3510053-1001200122345621405323456令B=C=D=13021223456=BC23456E(2(1),3)AE(2,3)=(1)OD23456将(1)两边求逆得-1-1BC-1(2,3)A-1-1(2(1),3)=-1E·EOD-1+-1BC∴A-1=E(2,3)E(2(1),3)-1OD-1-

12、1-1-1-1BCB-BCD由=11OD-1OD1131264611111--11=5535351234511121232--55353511=23B+XE2Y由公式得:00-77-7345600-152-1645677-11A=23-155631264619--553535234-146232345-1300-77特别地,当X是n×l,Y是1×n,且C=(