逆矩阵的求法.doc

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1、第六节  逆矩阵一、逆矩阵的概念利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。对于线性方程组令A＝   X＝   B＝则方程组可写成AX=B.方程AX=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。类似于一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以写成x=a-1b，矩阵方程AX=B的解是否也可以表示为X=A-1B的形式？如果可以，则X可求出，但A-1的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。定义11  对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵C，使得AC=CA

2、=E（E为n阶单位矩阵），则把方阵C称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1，即C=A-1。例如     因为  AC==CA==所以C是的A逆矩阵，即C=A-1。由定义可知，AC=CA=E，C是A的逆矩阵，也可以称A是C的逆矩阵，即A=C-1。因此，A与C称为互逆矩阵。可以证明，逆矩阵有如下性质：（1）若A是可逆的，则逆矩阵唯一。（2）若A可逆，则(A-1)-1=A.（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1（4）若A可逆，则detA≠0。反之，若detA≠0，则A是可逆的。证  （1）如果B、C都是A的逆矩阵，则C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B即

3、逆矩阵唯一。其它证明略。二、逆矩阵的求法1、用伴随矩阵求逆矩阵定义12  设矩阵A=所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵称为A的伴随矩阵，记为A*。显然，AA＊=仍是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为由行列式按一行（列）展开式可知=所以       AA＊==detAE    （1）同理  AA＊=detAE=A＊A定理3  n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，而且A-1=A＊=证  必要性：如果A可逆，则A-1存在使AA-1=E，两边取行列式det(AA-1)=detE,即detAdetA-1=1,因而detA≠0,即A为非奇异矩阵。充分性：设A为非奇异矩

4、阵，所以detA≠0，由（1）式可知A(A＊)=(A＊)A=E所以A是可逆矩阵。且A-1=A＊例1  求矩阵A=的逆矩阵。解  因为detA=,所以A是可逆的。又因为            所以A-1=A＊==2、用初等变换求逆矩阵用初等变换求一个可逆矩阵A的逆矩阵，其具体方法为：把方阵A和同阶的单位矩阵E，写成一个长方矩阵，对该矩阵的行实施初等变换，当虚线左边的A变成单位矩阵E时，虚线右边的E变成了A-1即从而可求A-1。例2  用初等变换求的逆矩阵。解  因为 =所以 A-1=例3 解线性方程组解  方程组可写成=设A=  X=  B=  则AX=B由例2知A可逆，且A-1=所以X

5、=A-1B，即=A-1B==于是，方程组的解是习题 12--61、用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）   （2）   （3）2、用初等变换求逆矩阵：（1）   （2）   （3）（4）3、解矩阵方程（1）X（2）（3）（4）4、解线性方程组（1）（2）