逆矩阵地求法及逆矩阵地应用

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1、逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用ThemethodsforidentifyinginversematrixandapplicationofinversematrixAbstract:Inmodernmathematics，matrixisaneffe

2、ctivetoolwithextensiveapplication，andinversematrixisasignificantconceptinmatrixtheory.Thedisdussaboutthewaytoevaluatinginversematrixanditsapplicationisofanimportantmeaningwithmaturedevelopmentatpresent.Thispaperwillsummarizethedefinitionandpropertiesofinversematrixanddisscussthemethodsevaluatingi

3、nversematrix.Wewillalsotalkabouttheapplicationofinversematrix,especiallyitsapplicationinencodinganddecoding.Keywords:MatrixInversematrixThewaytoevaluatinginversematrixApplicationofinversematrix15一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发

4、学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。二：矩阵的逆的定义对于n矩阵A，如果存在一个n矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），那么说矩阵A可逆，并把矩阵B称为A的逆矩阵。记A的逆矩阵为A.三：可逆矩阵的性质1、如果矩阵A、B均可逆,那么矩阵AB可逆，其逆矩阵为BA.（推广：如果矩阵A1，A2,……An均可逆,那么矩阵A1A2…An可逆，其逆阵为An…A2A1）2、如果A可逆，那么可逆，且=A；3、如果A可逆，那么可逆，且.4、.5、如果A可逆，数，那么可逆，且；6、如果矩阵A的逆存在，那么该逆矩阵唯一。以上结论见文献[1]四：矩阵可逆的几种判别方法设矩阵A

5、为n阶方阵，那么A可逆的充要条件有：151、存在n阶方阵B，使得AB=I；2、对PAQ=，其中P为s矩阵，Q为n×m矩阵，r（A）=n；3、；4、是非退化矩阵.5、A的行向量（列向量）组线性无关；6、A可由一系列初等矩阵的乘积表示；7、A可经过一系列初等行变换（列变换）化成单位矩阵I；8、齐次线性方程组AX=0只有零解.以上结论见文献[1][8]五：逆矩阵的几种求法（一）定义法定义：矩阵A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=E,那么称A可逆，称B为A的逆矩阵，记为.求矩阵的逆矩阵.解：因为≠0,所以存在.设,由定义知A=E,所以=.由矩阵乘法得=.15由矩阵相等可解得;;.故（二）

6、伴随矩阵法定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化.且，其中，Aij是

7、A

8、中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，即有A-1=A*.该定理见文献[1]注⑴此方法适用于计算阶数较低矩阵（一般不超过3阶）的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。注意A*=（Aji）n×n的元素位置以及各元素的符号。特别地，对于2阶方阵，其伴随矩阵为.⑵对于分块矩阵，上述求伴随矩阵的规律不适用.例2：已知，求A-1.15解:∵=-1≠0∴A可逆.由已知得A-1=A*=（三）行(列)初等变化法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块A变为，那么子块变为，即

9、由[A,E]作初等行变换得[E,A-1]，所得的即为A的逆矩阵.注⑴对于阶数较高的矩阵（n≥3），用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换.⑵也可以利用求得A的逆矩阵.⑶若矩阵A可逆，可利用得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行变换求矩阵的逆矩阵.解：15所以（四）用Cramer法则求矩阵的逆若线性