逆变换与逆矩、矩阵的特征向量

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1、一、逆变换与逆矩阵1．设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．2．设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．σρ=ρσ=IBA=AB=E23．逆矩阵的性质性质1.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是_____的．性质2.设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且________________．唯一（AB）-1=B-1A-14．定理：二阶矩阵A＝可逆，当且__

2、___________．detA=ad-bc≠0二、逆矩阵与二元一次方程组1．定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解2．推论：关于变量x，y的二元一次方程组其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式____________．三、特征向量定义设矩阵A＝，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．Aξ=λ四、特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个

3、不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝.t1λ1nξ1+t2λ2nξ21．已知B＝并且(AB)C＝求矩阵A.解：∵(AB)C＝A(BC)且BC＝故A2．已知M＝，求M4β.解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3＝0，所以λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为令β＝mα1＋nα2，将具体数据代入有m＝4，n＝－3，M4β＝M4(4α1－3α2)＝

4、4(M4α1)－3(M4α2)3．给定矩阵A＝求A的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2.解：设A的一个特征值为λ，由题意知：即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由得A属于特征值2的一个特征向量α1＝当λ2＝3时，由得A属于特征值3的一个特征向量α2＝4．(2009·前黄高级中学高三调研)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向

5、量e2的坐标之间的关系．解：(1)设M＝故＝故联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝解得2x＋y＝0.1．逆矩阵的求法有两种：一是利用待定系数法．二是利用公式法即当A＝时，有A-1=2．若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)－1＝B－1A－1；若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB＝AC时，有B＝C，即此时

6、矩阵乘法的消去律成立．已知A＝，求A－1.求逆矩阵有两种方法.一是利用待定系数法.二是利用公式法.解：法一：利用待定系数法设A－1＝则＝故∴矩阵A的逆矩阵A－1＝.法二：直接代入公式法．detA＝3×(－2)－2×(－4)＝2A－1＝.1．已知A＝，试判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1；如不可逆，请说明理由．解：detA＝2×2－1×(－1)＝5≠0，所以变换矩阵A是可逆的．设矩阵A的逆矩阵为则＝故解得故变换矩阵A的逆矩阵为.A-1=1．关于变量x，y的二元一次方程组(其中

7、a，b，c，d均为常数)写成矩阵形式可以表达成2．如果矩阵A＝可逆，则方程组的解可以表达成用逆矩阵方法求二元一次方程组的解．首先把方程组表示成矩阵方程，然后求系数矩阵的逆矩阵，最后求方程的解.解：已知方程可以写为：令M＝其行列式＝×1－3×(－2)＝9≠0.∴M－1＝即方程组的解为2．(2010·福州预测卷)用矩阵方法求二元一次方程组的解．解：已知方程组可以写为令M＝其行列式为：＝2×1－3×(－5)＝17≠0，所以M－1＝所以即方程的解为1．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A＝，向量α＝

8、，若有特征值λ，则即即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.2．对于矩阵来说，矩阵的一个特征向量只是属于A的一个特征值；属于矩阵A的不同特征值的特征向量相互之间一定不共线，若α是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kα也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．已知a∈R，矩阵A＝对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．先利用一般解法求出特征值λ1、λ2，然后求出相应的特征向量.解：由，得a＋1＝3，a＝2.矩阵A的特