6.4逆变换与逆矩阵

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn26.4逆变换与逆矩阵【知识网络】1、通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。2、会证明逆矩阵的唯一性和等简单性质，并了解其在变换中的意义；3、二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；4、能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；5、会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；6、会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。【典型例题】例1：（1）下列说法中错误的是()A、反射变换,伸压变换,切变都是初等变换B、若M,N互为逆矩阵,则MN=EC

2、、任何矩阵都有逆矩阵D、反射变换矩阵都是自己的逆矩阵答案：C。解析：矩阵M=，若，则M无逆矩阵。（2）矩阵的逆矩阵是()A.B.C.D.答案：A。解析：，∴逆矩阵为。（3）下列矩阵中，逆矩阵不存在的是（）A、B、C、D、答案：D。解析：二阶矩阵存在逆矩阵，需满足。（4）给出下列命题：①矩阵中的每一个数字都不能相等；②二阶单位矩阵对应的行列式的值为1；③矩阵的逆矩阵不能和原矩阵相等。其中正确的命题有个。答案：1。解析：只有②正确。（5）若A，则A=。答案：。解析：A=。例2：用矩阵方法求二元一次方程组的解答案：已知方程组可以写为：=令M=其行列式=3×1-3×

3、（-2）=9≠0∴M-1==∴=M-1==即方程组的解为：。例3：若x=（R）试求f(x)=x2+2x-3的最值。答案：∵x==cos2-sin2=cos2∴-1≤x≤1∵f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x)取得最小值-4；当x=1时f(x)取得最大值0。例4：已知矩阵，定义其转置矩阵如下：（1）若，写出A的转置矩阵，并求行列式和，两者有什么关系？（2）若表示的方程组为，请写出表示的方程组。答案：（1）由定义可知（2）表示的方程组为【课内练习】1．设矩阵A=，若存在，则x的取值范围是（）A、且B、或C、且D、或答案：A。解析：由已

4、知，，解之得且。2．设矩阵A=，则=（）A、B、C、D、答案：C。解析：矩阵A为切变变换矩阵，所对应的几何变换为：将平面上所有的点，故它的逆变换将平面内的点，所对应的变换阵为。3．设二阶行列式D=，则D=（）A、—10B、10C、—14D、14答案：D。解析：由二阶行列式的定义知。4．设A=，B=，则=。答案：。解析：，又BA==。5．设A=，则。答案：。解析：A对应的变换是绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为绕原点顺时针旋转30°。6．设A=，B=，且AC=B，则C=。答案：。解析：由已知，，=。7．设A=，B=，且AC=B，则C=。答案：。解析：

5、由已知，=。8．利用行列式解方程组答案：D=，于是，故该方程组的解为。9．求下列行列式的值⑴⑵⑶⑷2答案：⑴=1×4-2×3=-2⑵=1×4-2×（-3）=10⑶=-1×4-2×0=-4⑷2=2（ad-bc）10．设可逆矩阵A=的逆矩阵，试求的值答案：由已知，从而。【作业本】A组1．设A，B，C均为非零二阶矩阵，则下列各式正确的是（）A、AB=BAB、(AB)C=A(BC)C、若AB=0，则A=0或B=0D、若AB=C则B=CA—1答案：B。解析：由矩阵乘法的运算法则知。2．若二元一次方程组有非零解，则λ=（）A、1B、—1C、2D、—2答案：D。解析：若λ

6、≠—2，则方程组的解为且惟一。3．已知二元一次方程组AX=B，A=，B=，从几何变换角度研究方程组解的意义是（）A、一个点横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向拉伸为原来2倍，得到（2，1）B、一个点横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来倍，得到（2，1）C、一个点纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍，得到（2，1）D、一个点纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来倍，得到（2，1）答案：A。解析：由矩阵A表示的几何变换知。4．设矩阵A=，B=，若AB=E，则。答案：0。解析：由已知B=，故，从而0。5．设A=，则的逆矩阵是。答案：。解析：=其逆矩

7、阵为自身。6．判断矩阵M=是否存在逆矩阵，若存在试求出其逆矩阵答案：∵=2×5-1×6=4≠0∴M=存在逆矩阵M-1M-1==。7．设矩阵A=，P=，试计算下列各题。（1）求；（2）求AP答案：（1）∵；（2）AP=。8．用矩阵方法求二元一次方程组。答案：原方程组可以写成，记M=，其行列式，∴，即方程组的解为。B组1．设M，则M=（）A、B、C、D、答案：A。解析：由已知的逆矩阵为，从而M==。2．设A=，B=，则=（）A、B、C、D、答案：B。解析：由已知AB=，故=。3．设A=，B=，X=，则下列说法正确的是（）A、AB=BAB、B有逆矩阵C、若AX=0

8、则X=0D、若BX=0则X=0答案：C。解析：AX=