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1、吉林师范大学毕业论文（设计）论文分类号：O151.21密级：无浅谈逆矩阵的求法学院、专业：数学学院数学与应用数学学生姓名：赵殿钰年级班：2007级3班指导教师：范钦杰(教授)2011年4月15日浅谈逆矩阵的求法赵殿钰(吉林师范大学数学学院2007级3班吉林四平136000)指导教师：范钦杰（教授）摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.关键字：逆阵法；分块
2、矩阵；初等变换；伴随矩阵中图分类号：O151.21OntheInverseMatrixMethodZhaoDian-yu(Class3Grade2007,DepartmentofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin136000)DirectiveTeacher:FanQin-jie(professor)Abstract:Inordertomoreeasilysolvetheinverseofamatrix,thismatrixaccordingtothedifferentcharacteristicsofthedifferentintr
3、oducedseveralsimpleinversematrixmethod.thedefinitionoflaw,withthematrixmethod,elementarytransformation,blockmatrixmethod,solveequationsbytheuseofCramer'sruletosolvethedeterminantmethod,identicaldeformationmethod,theuseofHamiton_CaleyTheorem,splicingandothermethodstofindnewmatrixinverse,andpartofab
4、riefdemonstration.Keywords：theinverseofamatri；blockmatrix；elementarytransformation；withthematrixCLCNO:O151.21121、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.2、矩阵可逆的条件（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是
5、A
6、≠0（也即r（A）=n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（
7、3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.3、逆矩阵的性质设A，B是n阶可逆矩阵，则（1）（A-1）-1=A；（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=A-1；（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；（6）
8、A-1
9、=
10、A
11、-1；（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）=r（PA）=r（AQ）
12、=r（PAQ）.4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.例1：设A为n阶矩阵，且满足，求A-1.【解】12方法2伴随矩阵法：A-1=A*.定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且其中Aij是
13、A
14、中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其
15、伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知，求A-1.【解】∵
16、A
17、=2≠0∴A可逆.由已知得12A-1=A*=方法3初等变换法：注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是
