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1、浅谈逆矩阵的求法论文所在系：数学系老师：熊老师年级：10数本（1）学号：201040431036姓名：谢明静浅谈逆矩阵的求法论文摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵1、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的
2、，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.2、矩阵可逆的条件（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是
3、A
4、≠0（也即r（A）=n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.3、逆矩阵的性质设A，B是n阶可逆矩阵，则（1）（A-1）-1=A；（2）若k≠0，则k
5、A可逆，且（kA）-1=A-1；（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；（6）
6、A-1
7、=
8、A
9、-1；（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）.4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=6E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.例1：设A为n阶矩阵，且满足，求A-1.【解】方法2伴随
10、矩阵法：A-1=A*.定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且其中Aij是
11、A
12、中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知，求A-1.【解】∵
13、A
14、=2≠0∴A可逆.由已知得6A-1=A*=方法3初等变换法：注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵
15、，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3:设设求解：于是方法4用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：6例4：已知，求A-1.【解】将A分块如下：其中可求得从而方法5解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出
16、逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5：求的逆矩阵.【解】设,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素6,再求，最后求.设E为4阶单位矩阵,比较的两端对应元素,得到于是,所求的逆矩阵为:方法6用克莱姆法则求解：若线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解.这里是将中的第i列换成得到的行列式.定理1 若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则
17、Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=
18、A
19、≠0(因为A可逆),所以,6由克莱姆法则可得唯一解:εj=Dj/D=bj
20、1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj
