矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法.docx

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1、[键入公司名称]线性代数论文矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法关键字：可逆矩阵的定义、

2、A

3、≠0、ｎ阶方阵、AB=E、r(A)=n、

4、A

5、=λ1λ2…λi≠0、齐次方程组、、初等变换化为单位矩阵、分块矩阵求逆、分解矩阵求逆、递推法机械学院　交通运输　０７５班韩振坤　谭鹏鹏　魏亚萌　联系方式　矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结，在阶数较高的矩阵可逆判定、用

6、分块矩阵求逆矩阵、分解矩阵求逆法上略有拓展，另外参考相关资料列出递推法求逆。1、可逆矩阵的定义定义:设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得n，则称是可逆矩阵（或称为非奇异矩阵），是的逆矩阵。从这个定义可知，单位矩阵E的可逆矩阵就是其自身。2、矩阵可逆性的判定2.1n阶方阵可逆的充分必要条件是

7、A

8、≠0，且此时.此定理判断矩阵可逆很容易，只是求逆矩阵非常的麻烦，适用于求低阶矩（二阶、三阶）的逆矩阵的情况。2.2利用矩阵的初等行变换，若矩阵可化为单位矩阵，则可逆，并可直接求出逆矩阵。此种方法最常用。矩阵可以化为单位矩阵，所以矩阵可逆。2.3A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B满足AB=E

9、（或BA=E），，则矩阵是可逆的，且=、.若要判断是否可逆，则只要看是否能找到与其乘积等于的矩阵即可。例2.1矩阵和满足-=，证明可逆，并求其逆矩阵。证明：由Ａ－Ｂ=ＡＢ可得Ａ＋Ｅ-Ｂ-ＡＢ=Ｅ，即（Ａ＋Ｅ）－（Ｅ＋Ａ）Ｂ＝Ｅ，于是（）（）=.所以可逆，且逆矩阵为2.4若n阶矩阵的秩为n，即r(A)=n,则矩阵可逆。利用矩阵秩的定义或利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩，看是否等于矩阵的阶数。例2.2判断矩阵是否可逆？=.解：所以R（A）=3，矩阵可逆。2.5方阵A为可逆矩阵的充要条件是A可以写成初等矩阵的乘积。即A=P1P2…Ps，其中Pi是初等矩阵。2.6可逆　

10、A的行（列）向量组线性无关。2.7可逆　齐次方程组AX=0只有零解。若齐次方程组AX=0只有零解，则r(A)=n，A可逆。2.8可逆　非齐次线性方程组AX=B总有唯一解。2.9n阶矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不等于0.即

11、A

12、=λ1λ2…λi≠0，A可逆。此方法将判断矩阵是否可逆转化为求方程的解。例2.3判断矩阵是否可逆？=.解：解得特征值为λ=-1，λ=2，λ=5.因此矩阵可逆。2.10一类阶数较高矩阵可逆性的判定对于二阶矩阵（1）当时，则可逆，且其逆为，利用这一简单结论可简单的判定形如（2）一类方阵是否可逆，其中（2）中未标的元素主对角线上全为1，其它元全为0

13、.定理2.10矩阵（2）可逆当且仅当矩阵（1）可逆。证：记矩阵（2）为，由于则有：矩阵（2）可逆矩阵可逆。3、逆矩阵的求法3.1用定义去求逆矩阵定义3.1设是一个阶矩阵，如果存在阶矩阵，使==，则称为可逆矩阵，并称是的可逆矩阵。例3.1已知阶矩阵满足。证明+4可逆并求出.证明：把变形为(+4)（）=-5，可得（+4）（）=，所以存在一个矩阵=，B使（+4）=。由定义得+4可逆，且==.3.2用初等变换去求逆矩阵如果可逆，则可通过初等行变换化为单位矩阵，即存在相应的初等矩阵、…使…＝　（1），用又乘上式两端，得…＝　（2），比较（1）、（2）两式，可知当通过行初等变换化为的

14、同时，对单位矩阵作同样的初等行变换，就化为的逆矩阵.同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。(1)初等行变换如果阶矩阵可逆，作一个2的矩阵（，），然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时即化为了。即（，）（，）(2)初等列变换如果阶矩阵可逆，作一个2的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时化为,即.(3)混合采用初等行、列变换如果阶矩阵可逆，列出三个矩阵如下：，，（为单位矩阵）。对这三个矩阵施以变换，当对做一次行变换，便对左边的矩阵做同样的行变换；每对做一次列变换，便对右边的矩阵作同样的列变换。最后可得：，，,所以=.用伴随矩阵去求逆矩

15、阵例3.2判断矩阵是否可逆，=解：矩阵可以化为单位矩阵，所以矩阵可逆。3.3用伴随矩阵求逆矩阵定理3.3阶矩阵=（）为可逆的充要条件是非奇异。且=，其中是中元素的代数余子式。矩阵称为矩阵的伴随矩阵，记作，于是有=.3.4用分块矩阵去求逆矩阵设、分别为、阶可逆矩阵，则＝，＝，＝，＝.例3.3求矩阵＝的逆矩阵。解：令＝，＝，＝，所以＝＝，＝.故＝＝＝3.5分解矩阵求逆法分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。定理3.5设为阶可逆矩阵，且＝＋，其中已知，是可逆阵，，又设＋可逆，则＝－.　（１）例3.4求矩阵=的