浅谈正交矩阵求法

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1、2010-12教研论坛浅谈正交矩阵的求法管茂年1.引言kξ，k，k取遍数域P中不含零的全部数T′T2212（3）再通过合同变换（）求得正交矩阵是线性代数中的核心内容，而正对，再用特征向量值代入，得到T111矩阵U.交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换4x-2x-2x011123111111111111-1-1111它的基础解系是-2x+4x-2x01理论中起着十分重要的作用.正交矩阵不仅11231111111111111111-11-11-2x-2x+4x0111在线性代数中，而且在理工各学科

2、领域的112311例2.设A，则f（x）11A1-1111-1数学方法中，如优化理论、计算方法、信息因此，属于5的一个线性无关的特征111111111111分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两向量就是ξε+ε+ε1131233种正交矩阵的求法：第一种是用施密特正即方程（αE-A）X0的一个基础解系xE-A（x-2）（x+2），通过解相应的齐次i111111111-1111交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题1111011-1111111111111步骤，并举例说明；第二种是利用合同变换101111111100111111是：α，α，α1（1）1231111111111线性方程组求得T1111

3、111111求一个正交矩阵，对其中用的重要定理、引1111111010111111-1-11111111理进行了证明，说明了这种方法的具体求1001-11对（1）施用施密特特征正交化得：1111解过程，并举例说明.βα（1，0，-1）121111111定义1.1n阶实矩阵A，若满足A′AE，（α，β）11121βα-21β（-，1，-）（2）-111221使得TAT此时，（β，β）2211则称A为正交矩阵.111211111（α，β）（α，β）112.用施密特正交化方法求正交矩阵βα-31β-32β（1，1，1）121331211（β，β）（β，β）1122关于化实对称矩阵A为对角形的讨11-

4、101121111111111论，大部分教科书中，都采用施密特正交化11112-1011姨211111T′T，11的方法求出正交矩阵T，按常规是分三步111111-1-120111111把（2）单位化得：η，110111进行：11100041111111（1）求λE-A的全部不同的特征根λ，11111111-121-101111111λ，…，λ它们都是A的特征根.1姨211121112-10111111111111111（2）对每个特征根λ，解齐次线性方程-11111111111000411姨611姨3111组（αE-A）X0，求出它的一个基础解系：111111i1111T′T1-111-11

5、1111于是（）11α，α，…，α（1），对（1）施用施密特正交化121111T11i1i2iki111111η，η1100112113111姨611姨3111得：β，β，…，β（2），再把（2）单位化，得：111111i1i2iki1111101011111111η，η，…，η（3）11111111i1i2iki1111111001-11-111111（3）以η，η，…，η为列向量的矩阵T1姨611姨31i1i2iki111111120001则所求的正交矩阵T为11就是所求的正交矩阵.11131111111-1122111111001111-11221111111例1.设矩阵A11，求一个1

6、姨2姨6姨31112121111113111111-1111001111122111111211221111T0.1111正交矩阵T，使得T′AT成为对角矩阵.1姨6姨311000111111111121111解：λE-A（λ+1）（λ-5）特征值是-1111111-1-11411111--122111（二重）和51姨2姨6姨311111111111把特征值-1代入齐次方程组11-113.利用合同变换求正交矩阵1112211（λ-1）x-2x-2x0111123引理：设A是n×r实矩阵，若秩Ar，则111101011111111-2x+（λ-1）x-2x01123存在可逆矩阵P，使P′A′AP

7、E.111111111001-11-2x-2x+（λ-1）x01123定理A是n阶实对称矩阵，如果T是111-1120001-2x-2x-2x0111123实可逆矩阵，使TAT是对角形矩阵，则存1111131得到111-2x-2x-2x01123在可逆矩阵R，使UTR是正交矩阵，而且100011121111-2x-2x-2x01123U′AU是对角形矩阵.141100011111110113111