浅谈正交矩阵的求法

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1、2010-12教研论坛＜Bstyle二'color:black:background-color:#ffff66?＞浅谈〈/B＞正交矩阵的求法管茂年1•引言kg,k,k取遍数域P屮不含零的全部数2212(3)再通过合同变换()求得正交矩阵是线性代数中的核心内容，而正对，再用特征向量值代入，得到11矩阵u.交矩阵是一种4x-2x-2x0常用的矩阵，它在正交变换11123111111111111-1-1111它的基础解系是-2x+4x-2x01理论中起着十分重要的作用.止交矩阵不仅1111111111111-11-11-2x-2x+4x011在线

2、性代数中而冃在理工各学科领域的1123A11例2.设,则f(x)1-1111-1数学方法中，如优化理论、计算方法、信息因此，属于5的一个线性无关的特征11分析屮有着举足轻重的地位•本文将总结两向量就是©£+3123种正交矩阵的求法：第一种是用施密特正即方程（QE-A）X0的一个基础解系xE-A（X-2）（x+2）,通过解相应的齐次•1111111111-1111-1交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题1111011111111111111步骤，并举例说明；第二种是利用合同变换101111111100111111是••a,a,a1(1)线性方程

3、组求得T1求一个正交矩阵，对其中用的重要定理、引1111111011111-11理进行了证明，说明了这种方法的具体求1001-11对（1）施用施密特特征正交化得：1111解过程，并举例说明•Ba(1,0-1)12111定义1.In阶实矩阵A,(a,B)1121a-21B(-，1,-)(2)11此时,(B,B)221满足A'AE,1B-1122使得TAT为止交矩阵2.特正交化方法求正交(1,1关于化实对称矩阵A为对角形的讨11-101121111111111论，大部分教科书中，都采用施密特正交化11112-101求出止交矩阵T,按常规是分三步-

4、1-120把（2）单位化得:n进行11100041111111(1)求xE-A的全部不同的特征根入11111111—121-1011111111入，・・•，入它们都是A的特征根.2112-1011111111111(2)对每个特征根X,解齐次线性方程姨611姨311组（aE-A）X0,求出它的一个基础解系:111111■111111-1111a,…，a(1),对(1)施用施密特正交化1211111ili2iki1111n110011(2),再把(2)单位化，得:ilili2ikii2iki-111111为列向量的矩阵Tili2iki求的正交矩

5、阵T为就是所求的正交矩阵131111111-1122111111001111—11221111111例1.设矩阵A11,求一个1姨2姨6姨311Oi211T・11止交矩阵T,使得T'AT成为对角矩阵・姨6姨3110011111111解：XE-A11411111111(1姨2■-重姨6姨(入+1)(X-5)特征值是-11-1-11111221)和5311把特征值-1代入齐次方程组一2x—2x是nXr实矩阵,若秩A，则3.利1引理:11-11用合同变换求正交矩阵111111-2x+（入-1）x~2x01123存在可逆矩阵p,使P'A'APE・1

6、11111111001-11112是n阶实对称矩阵，如果T3是定理A111-1120001-2x-2x-2x0111123实可逆矩阵使TAT是对角形矩阵，则存111-2x-2x-2x01123R，使UTR是正交矩阵，而且在可逆矩阵100011121111-2x-2x一2x0LAU是对1123111311110111111施密特正交化方法求u,计算较烦.以11111111101111100041这种方法不必借助欧氏空间的某些概念11111111111111111111它的基础解系是上1111-1-1的求解步骤为：1与性质•它1因此，属于T的两个

7、线性无关的特征向(1)求入E-A的全部不同的特征根入，11111111量就是：§£—£,g£—£10111113223入，…，X,它们都是A的特征根.11而属于T的全部特征向量就是kg+1通过求相应的11(2)齐次线性方程组得T.001-1-21-教研2010-12论坛参考文献:〔1)杨子胥•高等代数〔M)•北京:高等教育出版社，1990.00011姨_姨(2〕同济大学数学教研室•线性代数(第姨262姨32姨姨姨2姨211磁)(M)•北京：高等教育出版社，1991・姨2姨62姨3姨0姨29姨2姨3姨姨6⑶丘维声•高等代数讲义(M)•北京：北—

8、姨112姨姨2姨62姨3姨00姨22姨3京大学出版社，1983.62姨32(Q江佑民•分块矩阵的初等变换和合使得UAU00姨同变换(J)・曲阜师范max.bookl