【备战高考】山东省济宁市XX中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

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山东省济宁市XXX中学高考数学一模试卷（理科）一・选择题:本大题共10个小题，每小题5分•共50分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={l,2,3/4/5}/M={3,4,5},N={2z3},则集合(CuN)DM二()A.{2}B・{1,3}C.{2,5}D.{4,5}2•复数z满足（3・2i）z=4+3i（i为虚数单位）,则复数z在复平面内对应的点位于（）A・第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3・设awR,"1,3.16为等比数列〃是"a二4〃的（）A・充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4・以下四个结论，正确的是①质检员从匀速传递的产品生产流水线上,每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1;③在回归直线方程?二0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y—定增加0.2个单位；④对于两个分类变量X与Y,求岀其统计量K2的观测值k,观测值k越大，我们认为"X与Y有关系"的把握程度就越大・（）A・①④B.②③C・①③D.②④ (Qx5・设实数x,y满足:x+3y<4,则z=x・3y的最大值为()[x>-2A.・2B.・8C・4D.26•从4台甲型和5台乙型电视机中任取岀3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A.140种B.80种C・70种D.35种7.在aABC中;M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足AN专NM,若五=入忑+卩疋(入，U€R),贝I」入+P的值为()AiB-ic-id.i8•已知定义在R上的函数f(x)=2lx-m|-l(meR)为偶函数，记a=f(・2),b=f(log25)zc=f(2m)，则azb,c的大小关系为()A.a0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于*,若将函数y=f(x)的图象向左平移*个单位得到函数y二g(x)的图象，则使y=g(x)是减函数的区间为()A,71兀、czIT兀、_g兀、〜zJI八A.(—>—)B._)C・(0,—)D.(—y•0)10・定义在［务，兀］上的函数f(x),满足fG)二玖十)，且当疋吕，1］时,f(x)=lnx,若函数g(x)=f(x)兀］上有零点，则实数a的值范围是()A・[-1攀”,0]B.[・nlnTTz0]C・[三,丄攀-]D・[亍,—二•填空题：本大题共5小题,每小题5分■共25分.m+8cll.B^Dai>0（i=l/2/3，…，n）,观察下列不等式：七2〉需忑; ai+an+a3+a3>a2&3；>^/a1a2a3a4；照此规律，当nGN*(n>2)时，亠」>.n12・不等式|x-2|>f$2xdx的解集为_.13•公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了〃割圆术"•利用〃割圆术〃刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的〃徽率〃.如图是利用刘徽的〃割圆术〃思想设计的一个程序框图，则输出n的值为_.(参考数据:sinl5°=0.2588,sin7.5°=0.1305)14・一个三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的体积是 2215・已知椭圆Ci：七+牛1Q>t>>0)与双曲线C2:-y2=l有公共的焦点,ab双曲线c2的一条渐近线与以椭圆C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆G交于M、N两点，若AB-V2HN,则椭圆Ci的标准方程是・三.解答题:本大题共6小题，共75分•解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16•在MBC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且;^±言諜忑(I)求角B的大小，(H)设irrksinA+cosA,1),n-(2,cos(-77—2A)),求m♦门的取值范围.17•某大学有甲、乙两个校区•从甲校区到乙校区有A、B两条道路・已知开车走道路A遭遇堵车的概率为*；开车走道路B遭遇堵车的概率为p•现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A,李教授走道路B,且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响•若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为£•求：(I)走道路B遭遇堵车的概率p；(H)三人中遭遇堵车的人数X的概率分布列和数学期望・18•如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，zDAB=zDBF=60°,且FA=FC,AC、BD交于点O•(I)求证：FCll平面EAD;(II)求证:AC丄平面BDEF・(HI)求二面角F・AB・C(锐角)的余弦值・ AB19・知数列厲｝的前n项和为Sn/且满足兀二2%-2(疋N*);数列｛bj为等差数列,且满足b2=aizb8=a3・(I)求数列仙｝,｛"｝的通项公式；(II)令cf1-(-1)叫口,关于k的不等式c?4097(l1时，讨论函数F(x)=-T~g(x)的单调性；e(II)求证：当a二0时，不等式f0)>2说对任意xe(0,+oo)都成立.21•如图，已知线段AE,BF为抛物线C:x2=2py(p>0)的两条弦，点E、F不重合・函数y二ax(a>0且)的图象所恒过的定点为抛物线C的焦点•(I)求抛物线C的方程；(n)已知A(2,1)、B(-l,寺)，直线AE与BF的斜率互为相反数，且A,B两点在直线EF的两侧.①问直线EF的斜率是否为定值?若是，求岀该定值；若不是，请说明理由・②求运的取值范围・ 2017年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题:本大题共10个小题f每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,3},则集合(CuN)DM二()A.{2}B・{1,3}C.{2,5}D.{4,5}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出N的补集，然后求解交集即可・【解答】解：全集U={1l2l3t4l5}lN={2,3},则集合（:uN={l,4,5},M={3/4/5},集合(CuN)AM={4,5}.故选:D.2•复数z满足（3・2i）z=4+3i（i为虚数单位）,则复数z在复平面内对应的点位于（）A・第一象限B.第二象限C・第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】利用复数的运算法则、共觇复数的定义、几何意义即可得出・【解答】解：(3-2i)z二4+引(i为虚数单位)z/.(3+2i)(3-2i)z=(3+2i) 117（4+3i）,14z=6+17i,可得z二号+*i,则复数z在复平面内对应的点（孕罟）位于第一象限・故选：A.3•设aeR,n,az16为等比数列〃是〃a=4〃的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断・【分析】根据等比数列的性质求出a的值，结合集合的包含关系判断即可•【解答】解：若V,a,16为等比数列〃，则a2=16,解得：a=±4,故"1,3,16为等比数列〃是〃a二4〃的必要不充分条件，故选：B.4・以下四个结论,正确的是①质检员从匀速传递的产品生产流水线上,每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；③在回归直线方程:二0.2X+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y—定增加0.2个单位;④对于两个分类变量X与Y,求出其统计量心的观测值k,观测值k越大，我们认为“X与Y有关系〃的把握程度就越大・（） A・①④B.②③C.①③D.②④【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由系统抽样和分层抽样的概念判断①；由频率分布直方图中矩形面积的意义判断②；由回归直线方程的一次项系数的符号,即可判断③；由观测值k与两个变量X与Y有关系判断④.【解答】解：①质检员从匀速传递的产品生产流水线上,每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1,故②正确；③在回归直线方程>0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y平均增加0.2个单位,故③错误；④对于两个分类变量X与Y,求出其统计量K2的观测值k,观测值k越大，我们认为〃X与Y有关系〃的把握程度就越大，故④正确・二正确的命题是②④•故选:D.（y>xx+3y<4z则z二x・3y的最大值为（）x》-2A・・2B.・8C・4D.2［考点］简单线性规划.【分析】由约束条件作岀可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件x+3y<4作出可行域如图，x—2 联立，解得A(・2,・2),化z二x-My为y二|•气，由图可知，当直线y二专疔■过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为46•从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取岀的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A.140种B.80种C.70种D.35种【考点】排列、组合的实际应用・【分析】任意取出三台,其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法,一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数.【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有CQC5】二30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有CFC52二40种；共有30+40=70种・故选：C・7.在MBC中为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足AN占NM,若屈二入爲+"疋(入，卩€R),贝!］入+|J的值为()AiBic-iD-1【考点】平面向量的基本定理及其意义・【分析】设丽二t反，(00则f(x)=2M-1=H%x<0分析可得当xnO时，函数f(x)为增函数； a=f(・2)=f(2);b=f(log25),c=f(2m)=f(0),又由0<20)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数y=f(x)的图象向左平移升单位得到函数y二g(x)的图象，则使y=g(x)是减函数的区间为()/TT7T.z兀7T、/A兀szTT、A・(―.—)B.—)C・(0,—)D.0)【考点】函数y=Asin(u)x+(p)的图象变换・【分析】利用正弦函数的周期性求得3的值,可得函数f(x)的解析式，再利用y=Asin(u)x+(p)的图象变换规律，求得g(x)的解析式z利用正弦函数的单调性，求得y=g(x)是减函数的区间•【解答】解：T定义在R上的函数f(x)=sincox(3>0)的图象与x轴的两个贝二今/•.u)=2,f(x)二sin2x・兀兀若将函数y二f(x)的图象向左平移g个单位得到函数y=g(x)=sin(2x+—)的图象，入ri兀r兀ri3兀f.H.丫兀令2kti+—<2x+—<2kn+—,求得kn+—0(i=l/2/3/...,n),观察下列不等式：七応a1+aaoQj+09+8*+q》a2a3；4》a2a3a4；ai+a9+eee+aVb补照此规律,当nw屮(nn2)时,丄」>_Vaia2-an_■n【考点】归纳推理・［分析］由题意，知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数,即几个数算术平均数不小于它们的几何平均数z即可得出结论.【解答】解：由题意，知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数，即几个数算术平均数不小于它们的几何平均数.归纳推测当nwN*(n>2)时，一!_?>划“七…％.n故答案为：勺巧灯…吿. 12・不等式|x・2|〉J范xdx的解集为(・8,1)u(3,+oo).【考点】绝对值不等式的解法；定积分・【分析】求出JJ2xdx的值,解不等式即可・【解答】解：由JJ2xdx=x2|o=l/得|x-2>1,故x或x・2<解得：x>3或x<1,故不等式的解集是(-ooz1)u(3,+oo),故答案为：(・oo,1)u(3;+00).13•公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了"割圆术〃•利用〃割圆术〃刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的〃徽率〃.如图是利用刘徽的〃割圆术〃思想设计的一个程序框图贝」输岀n的值为24(参考数据:sinl5°=0.2588,sin7.5°=0.1305) 【考点】程序框图・【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环・【解答】解：模拟执行程序,可得n=6,S=3sin60o=^f不满足条件S>3.10zn=12,S=6xsin30°=3,不满足条件S>3.10,n=24zS=12xsinl5°=12x0.2588=3.1056,满足条件S>3.10z退出循环，输出n的值为24.故答案为：24.14—个三棱锥的三视图如图幷，则其外接球的術只是—呼兀【考点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积・ 【分析】由已知中几何体的三视图，画出几何体的直观图，进而求出几何体的外接球的半径，可得答案・【解答】解：观察三视图，可得直观图如图所示・该三棱锥ABCD的底面BCD是直角三角形,AB丄平1!1BCD,CD丄BC,侧面ABC,ABD是直角三角形；由CD丄BC,CD丄AB,矢QCD丄平面ABC,CD丄ACfAD是三棱锥ABCD外接球的直径，AD2二AB2+BC2+CD2二50,所以AD=5./2Z三棱锥ABCD外接球的体积V=y兀•3二更竽2兀,故答案为^17T.15・已知椭圆Ci：七+分1（a>b〉0）与双曲线C2：x2・y2=l有公共的焦点,ab双曲线c2的一条渐近线与以椭圆C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点,与椭圆G交于M、N两点，若AB二迈MN,则椭圆Ci的标准方程是令+y?=i.—3—【考点】椭圆的简单性质・【分析】由题意画出图形,求出双曲线的条渐近线方程，联立直线与圆、直线与椭圆求得|AB|、|MN|,再求出双曲线的焦距，结合已知列关于azbzc的方程组，求解即可得到椭圆G的标准方程• 【解答】解：如图，双曲线C2:x2・y2=l的一条渐近线方程为y=x,由题意可知：|AB|=2a,a2+b22k22abx二~22a2b2I22由题意，2皿•勾今七，即a?+b2二2b,①Va+b且c=V2/又a2=b2+c2,②联立①②解得a2=3,b2=l.2c•••椭圆Cl的标准方程是丄A+y2=i・2小故答案为：計/=1.三.解答题:本大题共6小题■共75分，解答应写出文字说明,证明过程或演J:516•在MBC中,三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且靠^二三誰应(I)求角B的大小，(II)设^=(sinA+cosA,1)>n=(2.cos(—-2A)),求二恳的取值范围.【考点】正弦定理・ 【分析】(I)由正弦定理化简已知可得a2+C・b2=V2ac,利用余弦定理可求cosB,由范围Be(0,tt),利用特殊角的三角函数值即可求B的值.(n)利用向量数量积的运算可求m-n=2(sinA+cosA)+sin2A,令t=sinA+cosA，可得sin2A=t2・1,可求韦•'=(t+1J2・2又t二sinA+cosA二逅sin(A+—),0A<-—,可求0<伍sin(A+—)/2,...10分■11时，讨论函数FG)二一r~g(x)的单调性;e(II)求证：当a=0时，不等式f(J>2頁对任意xe(0;+oo)都成立.【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用・【分析】(I)求得F(x)的解析式，求导，求得F(x)二0的两个根，利用导数与函数单调性的关系,分类讨论即可求得函数的F(x)的单调性;(II)当a二0时，求导，构造辅助函数，h(x)二x?+x2+x・1,求得函数的单调性求得函数f(x)的零点x0/x0e1),根据函数的单调性，采用放缩法，即可求证f(x)〉2航对任意xe(0z+oo)都成立.【解答】解：(i)")=rr-g(x)=x・e求导，F(x)二1+◎Ta(x-1)[x-(a-l)]T■—_・alnx(x>0)(x>0)z①当Ova时，艮卩:Lva<2日寸,F(x),F(x)随x的变化情况,X(0"1)a-1(a-1,1)1I+8)F(x),+0■0+ +■T—1e8+T~1103oX—sT~1I03■T~1、~"1rdoz*"*s■o+X■XS—z■LU/w逗超gXBjx)」・(X)LL-石2人eK匚人7e泪®・・M抵理冊(8+0)出(x)LL.・OAI宀(x)□_、起ZHPa匚丄；汕©z(z)'Ml<-H(ue翌抵廻曲、(8+匚)、(7eo)ttl(x)zl呆一k牆田-畧於「-Mi-(x)丄 (f+3)豔XCD+(十+x)帝丄X)・二黑-(十+X)*気(X)二苗0吐汕-SH二a)'Ml曲4(T;匚)STw?s理曲、(8+匚；二(10)出?)七起22【W廻理曲(8+0)出(x)zrsCXJHe-蹩抵廻冊-H(Ue)出靶抵粵冊'(OO+匚)、(7eo)tti(x)：rcxlvev:S丘<'(7e匚)翌抵磔曲-H(8+匚；二(T0)ttl(x)：J眾丘浪-ffi-SS--(x)zl 令h(X)=x3+x2+x-1,(x>0),求导；h'(x)=3x2+2x-1=3(X+y)2+y,h(x)在(0,+8)是增函数，由h(|)=-|<0,h(l)=2>0/•••h(x)在(0,+oo)上存在唯一的零点xo,且x0G(y,1),当0vxvxo时，h(x)<0,f1(x)亠严<0,X当x>xo时,h(x)>0,f(x)二旦罟■>(),X••・f(X)在(0,Xo)上是减函数，在(Xo,+8),•••当x>0时zf(x)>PXO(Xo+V")>7(Xo+T-)>2匚A0eAo21•如图,已知线段AE,BF为抛物线C:x2=2py(p>0)的两条弦，点E、F不重合・函数y二ax(a>0且a/1)的图象所恒过的走点为抛物线C的焦点.(I)求抛物线C的方程；(H)已知A(2,1)、B(-l,*)，直线AE与BF的斜率互为相反数，且A,B两点在直线EF的两侧①问直线EF的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由・②求亦•丽的取值范围・【考点】直线与抛物线的位置关系・【分析】(I)由指数函数的性质，求得p=2,即可求得抛物线C的方程; （n）①求得直线AE和BF的方程，代入椭圆方程，分别求得E和F坐标，求得利用斜率公式，即可求得直线EF的斜率是否为定值；②由①求得直线EF的方程，代入抛物线方程，由A,B两点分别在直线EF两侧,求得m的取值范围，利用向量数量积的坐标运算求得运•丽的表达式，利用二次函数的性质,求得伍•丽的取值范围■【解答】解：（I）由函数y=ax（a>0且aHl）恒过点（0,1），则|二1,则P=2,••抛物线C的方程为x2=4y;(n)①设点E(Xi,yi),F(x2,y2),则直线AE:y二k(x・2)+「直线BF:y二・k(x+1)+£fy=k(x-2)+l2z整理得：x2-4kx+8k-4=0,tx=4y2则xi+2二4k,故xi=4k・2,yi=Il=(2k・1)J4•••E(4k・2,(2k-1)2)zEH>+4kx+4k±0,xL(l-4k)2T~4则X2-1=-4kz则X2=l-4kzy2=则F(—k,呼^),当xi=X2/4k-2=1・4k,即k=-|*,E,F两点重合z不符合题意,3故kHg,X1HX2, 则直线EF的斜率为“證4書于十,••・直线EF的斜率为走值・寺；3②由①可设A,B两点分别在直线EF两侧，则＜0,1丄尸~7x+m+1,整理得：x2+x・4m=0z,x2贝！JxiX2=・4m,yiyi=AL*ZL=m2,4..3贝！1运・0F=XiX2+yiyi=m2・4m=(m・2)2・4,0vmv㊁,.-•0E•帀W(・—,0),0E•五的取值范围(•普，0).=4y3由00恒成立, 2017年3月25日