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1、三对角矩阵的特征值及其应用从宇宙创始时的仅有氢、氦元素一直到后来的超重元素,超新星爆发成了新元素形成的宝库.因此研究超新星爆发的过程是十分重要的,而R过程是超新星爆发时的一个主要过程,研究超新星爆发时的R过程也就十分必要了([1]).R过程即快中子俘获过程,与发生在低中子密度、低温条件下的S过程相反,是发生在高中子密度,高温条件下的中子俘获过程([2]).在俘获过程中,当中子照射量较大时,即使是不稳定的核,只要有较长的寿命,在发生β衰变之前就可以吸收下一个中子.而且在变成寿命较短的核之前,不断添加中子,然后再衰变.这样一来,207如果中子照射量很大,可以
2、跨过作为终点的Bi的α衰变,形成直到铀及超铀元素.由于R过程的产生要求有大量的中子和迅速的反应,使得产生R过程的情况受到很大限制,故多半应该考虑爆发时的异常情况,最可能的就是超新星爆发.在过去十年中,人们对R过程的认识有了重要进展.文献[3]总结了针对R过程的参变量研究、天体物理学模型和观测研究方面的最新研究结果.强调核物理和天体物理学之间的相互影响,并就R过程的进一步理论研究、实验研究和观测研究提出了建议.文中给出了R过程中的主方程为：Y'(Z,A)=nvσ(Z,A−1)Y(Z,A−1)+λ(Z,A+1)Y(Z,A+1)+(1-1)nnrm+λ(Z−1
3、,A)Y(Z−1,A)+λ(Z−1,A+1)Y(Z−1,A+1)+λ(Z−1,A+2)Y(Z−1,A+2)012+λ(Z−1,A+3)Y(Z−1,A+3)−nvσ(Z,A)Y(Z,A)−λ(Z,A)Y(Z,A)−λ(Z,A)Y(Z,A)3nnrm这里YZA(,)表示在一个R过程中产生的含质子数Z和原子量A的原子核（Z,A）的数量,Y'表示Y对时间t的导数,n是中子的数量密度,nvσ(Z,A)是nnnr热平均中子俘获率,λ(Z,A)是光致分裂率,)λ(Z,A、λ(Z,A)、λ(Z,A)、m012λ(Z,A)分别表示释放0、1、2、3个中子的β裂变,又3λ=
4、λ(Z,A)+λ(Z,A)+λ(Z,A)+λ(Z,A)0123这里考虑YZA(,)分别与A和与Z无关的情况下方程（1-1）的解:1)YZA(,)与A无关,主方程（1-1）为:Y'(Z)=λ(Z−1)Y(Z−1)−λ(Z)Y(Z)n容易求出其解为:Yv=−∑iiexp(λt)，其中vi是相应于λi的特征向量，i=1in=1,2,",；2)YZA(,)与Z无关,主方程(1-1)为:YAnv'()=−σ(AYA1)(−1)+λλ(AYA+1)(+1)++()()AYAλ(AYA+1)(+1)+nn01rmλ(2AY++)(2A)+λ(A+3)Y(A+3)−nv
5、σ(A)Y(A)−λ(A)Y(A)−λ(A)Y(A)23nnrm将Z和A的取值范围分别记为i=1,2,",n和j=1,2,",m,则主方程可表示为:dyj=ay−by+cy+dy+ey,j=1,2,",m,a=0(1-2)j−1j−1jjj+1j+1j+2j+2j+3j+30dt此时线性算子⎡−b1c2d3e40"00⎤⎢⎥a−bcde"00⎢12345⎥⎢0a−bcd"00⎥2345R=⎢⎥⎢""""""""⎥⎢00000"−bc⎥n−1n⎢⎥⎢⎣00000"an−1−bn⎥⎦由于这是一个与通常的排队论中出现的完全不同的模型.根据线性代数的知识,在一般
6、情况下,要求出微分方程（1-2）的本征值的精确值是非常困难的,本文的第一部分将研究一些特殊情况,其中,任意三阶三对角阵的特征值完全解决；在三条斜对角线上元素分别相等的情况下四阶、五阶和n阶三对角阵的特征值也基本解决,又对该情况下2m+1阶与m阶三对角阵的特征值的关系给出了证明．第二部分对对称三对角阵的特征值的范围给出估计．正文1．三对角矩阵的特征值1.1三对角阵的定义定义1：若矩阵A=(a)的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角ij1≤i,j≤n线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式1⎡d1a100""0⎤⎢⎥bda0""0⎢222⎥⎢0bda""0
7、⎥333A=⎢⎥(2-1)⎢""""""⎥⎢0""0bda⎥n−1n−1n−1⎢⎥⎢⎣0""""0bndn⎥⎦那么就称矩阵A=(a)为三对角阵([4]),(即：(2-1)－带状矩阵．)此时有ij1≤i,j≤na=0（
8、i−j
9、>1）．ij1.2三阶三对角阵的特征值1.2.1全部非零元素相等⎛⎞aa0⎜⎟Aaaa=⎜⎟⎜⎟⎝⎠0aaλ−−aa0解：由λλEA−=−a−−aa0−−aaλ22222=−()λλaa⎡⎤()−−−aaaaaa()λλλ−=−()⎡⎤()−−=20⎣⎦⎣⎦得：λ=a,λ=+aa2,λ=−aa2．1231.2.2对称的三对角阵⎛⎞a
10、b0⎜⎟Abab=⎜⎟⎜⎟⎝⎠0baλ−−ab0解：由λλEA−=−b−−ab0
