矩阵的特征值与矩阵的相似对角化.ppt

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1、试卷和课件下载地址lzhao.ys168.com二.矩阵相似对角形对阶方阵，如果可以找到可逆矩阵，使得为对角阵，就称为把方阵对角化。定义:定理2：阶矩阵可对角化（与对角阵相似）有个线性无关的特征向量。(逆命题不成立)推论1:若阶方阵有个互不相同的特征值,则可对角化。（与对角阵相似）说明：如果　的特征方程有重根，此时不一定有　个线性无关的特征向量，从而矩阵　不一定能对角化．推论2:阶方阵　相似于对角阵的充要条件是　的每一个重特征值对应　个线性无关的特征向量．把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算

2、简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵的特征值是相应的特征向量是求矩阵解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。即存在可逆矩阵,使得其中求得2.求方阵的幂例4：设求解：可以对角化。齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:令求得即存在可逆矩阵,使得3.求行列式例5：设是阶方阵，是的个特征值，计算解：方法1求的全部特征值，再求乘积即为

3、行列式的值。设的特征值是即的特征值是方法2：已知有个不同的特征值，所以可以对角化，即存在可逆矩阵,使得4.判断矩阵是否相似解：方法1的特征值为令3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。例6：已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，设问矩阵能否与对角阵相似？即存在可逆矩阵,使得方法2：因为矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵能与对角阵相似。例7：设阶方阵有个互异的特征值，阶方阵与有相同的特征值。证明：与相似。证：设的n个互异的特征值为则存在可逆矩阵,使得又也是矩阵的特征值，所以存在可逆矩

4、阵,使得即即存在可逆矩阵,使得即与相似。例8取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。解对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵例9R(A)=R(B)=2<3,有无穷多解，此时原方程组的同解方程组是方程组R（A）=2，R（B）=3，方程组无解。得通解为：