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《浅谈矩阵对角化及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。众所周知：n维向量空间V中的线性变换/可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而5可对角化的充要条件是/关于V的矩阵A可对角化。内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，
2、最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。关键词:矩阵对角化特征多项式特征值特征向量导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基木性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方而的应用。具体内容：1、矩阵可对角化的条件：1）设5是n维线性空间的一个线性变换，5的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是〃有n个线性无关的特征向量。2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存
3、在一个可逆矩阵P使得PSP是对角矩阵。3）设A是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T,使得T-!AT=a,那么，就说矩阵A是口J以对角化的。可对角化矩阵的基木性质和结论：1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。2）数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。3）属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。4）如果在n维空间V中，线性变换5的特征多项式在数域P小有n个不同的根，即5有n个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。5）任一n阶实
4、对称矩阵都可以对角化。6）对任一n阶实对称矩阵A,必存在n阶正交矩阵T使得T"AT二diag（人，兀…，人），其中（人，人，・・・，人为A的特征根）。5）实对称矩阵卫的任一个特征值都是实数。6）实对称矩阵4对应于不同特征值的实特征向量是正交的。2、矩阵对角化的方法及实例解析：（以实对称矩阵为例）实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。设A是一个n阶实对称矩阵，a,B是任意的n维实向量，那么（Aa,p）=（a,AP）设A是一个n阶实对称矩阵，T=[X,X
5、?...X」是一个正交矩阵使得,则入，A2,…人是A的所有特征值,而XHX2,…X”是A的n个相互正交的单位特征向量。2-1-11-121-1-112-11-1-12,求正交矩阵T,使得T-1AT为对角阵。二（2—1）嘗一5）2-2-111A-2-111-12-21-1112-2得月的特征值为21=22=23=1（三重特征值）,24=5.-1当人二1时，由（A,E-A）=O,B
6、J：-11-11-1-1-11无2兀3=000兀401得基础解系为e二100100-1把它正交化,得0=a、=丁10B一a
7、_〈。2‘01〉b_"5而芦丄2121Q一穴_〈。3，02〉r_仏，01〉r_〈ZW/曲严―丄—31313_0_0_-10再将英单位化得:_V22V220072V66_V66V6306Ji6V36■亞231当血=5时,由（人E-A）二0即：1—1-11■1■-1得基础解系为也二，将其单位化得:—1则〃1，耳3,〃4是A的一组单位正交的特征向量，令V2V312632V2_AJ316620丁63V316200忑122T二［仏“2“3%］二则T是一个正交矩阵。且T-AT,求正交矩阵T,使得T-*AI为对角阵
8、。A-4解：由2E-A二-2-2Z-4-2=(2-2)2(2-8)-2得的特征值为人二人二2（二重特征值），A3=8O=2~02x2二02£0-2-2当2产血二2时，由(入E-A)X二0,B
9、J：-2-2-2-2_-1~■-T得基础解系为e二1_0_,a2=01把它止交化得:■_V2'V6'6再将其单位化得：7i=422，"2二V660V63■f3得基础解系为二1，将其单位化得：％二阴31阴3则“I，“2,“3是卫的—组单位4-2-20当久3二8时，由（23E-A）X二0,即：-24-2兀2二0-2
10、-24无30412_V663772仏］二412后6侖30333正交的特征向量，令T二加则T是一个正交矩阵，且T-1AT=2・83、可对角化矩阵的应用可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如其在求特征值、特征向量方面有着重要的应用，可以简化计算。1）求方阵的高次幕一般说，求矩阵的高次幕比较困难，但若矩阵A能相似于对角矩阵G4可以对角化）,即若存在可逆矩阵P,使得P"AP二B,其中B是对角阵•则A二PBP—',An=（PBP
