矩阵的对角化及其应用 毕业论文

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1、学科分类号（二级）110.2110本科学生毕业论文（设计）　题　　目　矩阵的对角化及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　姓　　名　　　　　　　　学　　号　　　　084080217　　　　　　　　院、　系　　　　数学学院　　　　　　　　　专　　业　　　　数学与应用数学　　　　　　　指导教师　　　　　　　　　　职称（学历）　讲师（博士）　　11矩阵的对角化及其应用摘要：本文较为系统的总结了矩阵可对角化的若干条件和矩阵对角化的方法，同时考虑了矩阵对角化的一些应用，

2、并以例题加以说明．关键词：矩阵对角化；应用1.引言及相关概念矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究．其中王萼芳和石生明在参考文献[1]<<高等代数>>中重点介绍了矩阵对角化的特征值特征向量法和矩阵可对角化的几个条件，如；A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的量．李启文和谢季坚在参考文献[2]<<线性代数理论与解题方

3、法>>详细介绍了利用矩阵的初等变换将矩阵对角化和利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化两种比较常用方法．还有徐仲在参考文献[3]<<线性代数典型题分析解集>>（第二版）中利用例题详细讲解了矩阵对角化的几种应用．文献[4-10]也都涉及到了矩阵对角化及其应用的相关知识．在归纳总结前人的基础之上，本文首先利用图示法给出了矩阵对角化的若干条件，然后介绍了矩阵对角化的三种方法：利用特征值和特征向量将矩阵对角化、利用用矩阵的初等变换将矩阵对角化、利用用矩阵的乘法运算将矩阵对角化．并用这三种方法解同一道例题，从而比

4、较出三种方法的优缺点，最后总结了矩阵对角化在由特征值和特征向量反求矩阵、求方阵的高次幂、求行列式的值、求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限和二次曲面上的一些应用．下面列举本文需要的基本概念．定义1.1如下形式的n×n矩阵A=称为对角矩阵，简记为A=diag．定义1.2设A、B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵T,使得B=AT，则称A相似于B，记为A～B．定义1.3如果在数域P上，对n级矩阵A存在一个可逆矩阵T，使得11AT为对角矩阵，则称矩阵A在数域P上可对角化；当A

5、可对角化时，我们说将A对角化，即指求可逆矩阵T使得AT为对角矩阵．1.矩阵可对角化的条件对于矩阵A=，我们可以找到一个可逆矩阵T=，使得AT=，而又是一个对角矩阵．根据定义1.3知，矩阵A=可对角化．但对于矩阵B=而言，若存在可逆矩阵T=，使得BT为对角矩阵，即=，得到=．则有，即要全为0．但这与矩阵T可逆矛盾．因此对于矩阵B=不存在可逆矩阵T，使得AT为对角矩阵．我们知矩阵B=不可对角化．由此我们知道不是任何矩阵都可以对角化，矩阵的对角化是有条件的．现给出矩阵可对角化的若干条件如下图所示：矩阵

6、A可对角化设A=，则矩阵A有n个互异的特征值矩阵A有n个线性无关的特征向量矩阵A为实对称矩阵矩阵A的所有重特征值对应个线性无关的特征向量矩阵A正交相似于实对角矩阵111.矩阵对角化的三种方法矩阵对角化最常见的方法是考察矩阵的特征值和特征向量的方法．由于这种方法一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结．解特征方程得特征值矩阵A是否有重特征值否否是矩阵A不可对角化矩阵A的所有重特征值是否对应个线性无关的的特征向量是矩阵A可对角化求每个特征值对应的特征向量取矩阵则有AT=diag11矩阵对角化的第二种

7、方法是利用矩阵的初等变换，其理论基础是下述定理．定理3.1[4]如果{，E}经过初等变换化为{D(),P()},其中表示特征矩阵的转置，D()为对角矩阵，则（1）矩阵A的特征值为D()对角线上元素的乘积所得到的关于多项式的根．（2）对于A的每个特征值，其特征向量是P（）中与D（）的零行对应的行向量．（3）矩阵A可对角化的充要条件是D（）中零行的数目等于的重数．矩阵对角化还可以根据以下定理进行．定理3.2[4]设是矩阵A在数域P上的全部互异的特征值，（1）若,则A可以对角化，反之，不可以对角化．（

8、2）设是r重根，则A的属于（=1，2,）的特征向量是矩阵列向量中的前r列．例1判断矩阵A=可否对角化，若可以，求可逆矩阵T，使得AT为对角矩阵．解法一：==,所以特征值是2（二重）和-4．解齐次线性方程组，得一基础解系为和．二重特征值2有2个线性无关的特征向量．则矩阵A可对角化．解齐次线性方程组,得一基础解系为11取T=，则AT=．说明：这种方法相对来说比较简单和基础，也是常用方法．解法二：{，E}=．故A的特征值是2（二重）和-4．{D（2），P（2）}=，得和是A属于2的特征向量．{D（-4