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1、浅谈矩阵的特征值及其应用•教育论文浅谈矩阵的特征值及其应用张瑜/张越（集宁师范学院数学系,内蒙古乌兰察布012000）摘要:本文对矩阵特征值进行归纳、总结,通过例题了解求特征值的方法与技巧，并利用特征值求解行列式、矩阵等相关问题，提高学生对矩阵特征值的认识,从而扩展解题思路，提高抽象思维能力,为其进一步的学习和研究打下良好的基础。关键词：矩阵；行列式；特征值；特征多项式DOI:10.16083/j.cnki.22-1296/g4.2015.04.072中图分类号：0151.2文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）04—0153—02收稿日期：2014—10—19作者简介：张
2、瑜（1977-），男，内蒙古四子王旗人。集宁师范学院数学系,讲师，硕士，研究方向：应用数学。张越（1975—人男，内蒙古四子王旗人集宁师范学院数学系，讲师，硕±，硏究方向：应用数学。引言与预备知识特征值在高等代数中尤为重要，在各高校历年考硏试题中占有一定的比例，它在很多领域都有广泛的应用。在科学硏究与工程设计中灵活运用特征值可以使很多复杂的问题简单化，起到便利的作用，而且随着现代科学技术的迅猛发展，矩阵理论已成为目前最有实用价值的数学理论之一。尤其是对特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论硏究的一个重要组成部分，因此，对矩阵特征值的研究与探讨是很有必要的。定义1若存在非零向量X，使得AX二入
3、X,则称入为A的特征值，X称为A的属于特征值入的特征向量，f（入）二（AI-A）称为A的特征多项式。A的特征值入是特征方程f（入）二0的根，特征向量X是方程组（AI-A）X=0的所有非零解。注①特征向量XHO,且特征值只针对于方阵。②特征值入与特征向量X并不具有唯一性。③n阶方阵A的特征值是使齐次线性方程组（AI-A）X=0有非零解的入的值,即满足
4、入I-A
5、二0的入都是方阵A的特征值。二、矩阵特征值的几个有用且比较重要的结论命题1设A,B是n阶方阵,则AB与BA有相同的特征值。证明（法I）若A可逆，则
6、AI-AB
7、=
8、A-1（入I-AB）A
9、=
10、XI-BA
11、O若A不可逆，但A-al可逆，
12、此时b（A-al）与（A-al）B有相同的特征多项式，于是
13、入I・B（A-al）
14、=
15、AI-（A-al）B
16、，但仅有有限个值使得
17、A-aI
18、二0,即有无限个a之值使得A・al可逆，故上式为恒等式。特别当a二0时上式成立，即
19、入I-AB
20、=
21、入I-BA
22、,故AB与BA有相同的特征多项式，从而AB与BA有相同的特征值。（法口）若入=0是AB的特征值，即存在入工0,使得ABX二0X=0,所以AB不可逆，于是A”B中至少有一个不可逆,从而AB不可逆，故存在非零向量X,使得BAX二0,即0是BA的特征值。若入二0是AB的特征值，即存在XH0，使得ABX二入X,令Y二BX,则AY二ABX二入XH0,所
23、以YH0,于是BAY二BABX二B入X二入BX二入Y,即Y是属于AB的特征向量，入是BA的特征值,同理，BA的所有特征值也是AB的特征值。故AB与BA有相同的特征值。（法III）由（）两边同取行列式，得入24A/=An(-I)WIA/-.4WIOIB又由0-BXIBxn，两边为n-厂阶方阵。于是卩（'°=A/-■0（）・PAQQ-BP::K3=[AV两边同取行列同取行列式，得入”4A/=AR(-l)nIA/-«4l,于PBSJA/-AFI=IXI-BAI,即AB与BA有相同的特PAQ=iro_oo_.H卩PA=1,_000.Q'设Q'lHP1=CJID'K_，其中C为厂阶方阵点征多项式，从
24、而有相同的特征值。（法IV）设厂（4）二心则存在可逆矩阵P、Q,使式，得IA/-ABI=AarIA/z-Clo■/■另一方面,AQ=/>1r•从而(Z1(A/-_0()」R4)(?=A//M(>=A/-d:;::「CDTA01rA/r-C0qXo]=[_w“]，两边同取行列式，得IAZ-R4I=A"-rIAZr-CI.尸是IAJ-ABI=IA/-R4L即AB与BA有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。命题2设A,B分别为nxm与mxn阶矩阵,如果nmz则AB与BA的特征多项式仅相差一个因子An-mo证明令P=[.40],(/斗(]则P,Q均为刃阶方阵；T是PQ*JQP有相同的特征多项式•
25、设BA的特征多项式为/(A),则IA/-.4WI=\1-PQ=X1-QPA/-BA00A/fl.m=An-y（A）故AB与朋的特征多项式仅相差一个因子入…n命题3设兀阶方阵4=%…6久aJh•・•（i^hn••••••♦••aA…aA则/+.4的特征值为1J,1,…•1・I+£讪2I■a】证明由题设〜[6,b2•…b]•今H=[ala2...an]TzC=[blb2...bn],则A二BC,而CB二》nk二lak
