矩阵特征值及其计算课件.ppt

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1、第5章矩阵特征值及其计算5.1特征值问题5.1.1一般特征值问题5.1.2实对称矩阵的特征值问题5.1.3Hermitian矩阵的特征值问题5.1.4两个实对称矩阵形成的特征值问题5.1.5非对称实矩阵的特征值问题5.2特征解的性质5.2.1Rayleigh原理5.2.2约束系统的Rayleigh原理5.2.3特征值的极大极小性质5.2.4Hermitian矩阵的正定准则5.2.5Gerschgorin定理5.3特征解的计算方法5.3.1无阻尼系统特征值问题的Ritz减缩方法5.3.2无阻尼系统特征值问题的矩阵迭代

2、法5.3.3无阻尼系统特征值问题的子空间迭代法5.3.4矩阵的变换和分解5.3.5实对称矩阵特征值问题的Jacobi法5.3.6一般矩阵特征值问题的QR法解：我们将梁分成10段，共11个节点，将每段的质量均分到节点上，再将每个梁段视为无质量弹性梁。因此梁弯曲振动坐标为y=[y1,y2,…,y9]T设梁的弯曲振型为……01910lxy(x)系统的质量、柔度矩阵分别为例5.1用Rayleigh法求均匀简支梁的基频估值。梁长l，质量m，抗弯刚度EI。根据柔度计算方法和简支梁的挠度公式可得柔度系数为这是柔度矩阵的上

3、半三角矩阵的元素，下三角矩阵的元素可由柔度矩阵的对称性得到。柔度矩阵为刚度矩阵的逆，系统的无阻尼振动方程，用柔度矩阵表示为：上式两边同乘M，可得对称形式的特征值问题为由上式得基频的估值为所以，Rayleigh商的表达式为基频的精确值为即使只是将梁分成2段（很粗糙），算得基频的估值为也有相当高的精度。解：先由柔度矩阵求逆得到刚度矩阵（只是为了说明问题）。根据初始迭代向量的取法，经计算后所取的结果为101000100100100001100000100000100000100000100010110000取6个

4、初始迭代向量例5.2用子空间迭代法求例5.1系统的前三阶模态。前6阶固有频率的迭代值9.740774e+0011.558175e+0037.879525e+0032.481355e+0046.000000e+0041.215997e+005前6阶固有频率的准确值9.740774e+0011.558175e+0037.879525e+0032.481355e+0046.000000e+0041.215997e+005很高的精度！迭代5次得：迭代得到的前3阶振型1阶2阶3阶将梁分成20段时振型的迭代计算结果：振型已趋于

5、光滑（迭代6次）