矩阵特征值问题计算.ppt

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1、第8章矩阵特征问题的计算8.1引言8.2幂法及反幂法8.3豪斯霍尔德方法8.4QR方法8.1引言工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题.下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识.定义1⑴已知n阶矩阵A=(aij)，则称为A的特征多项式.一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的特征值.用λ(A)表示A的所有特征值的集合.A的特征方程⑵设λ为A的特征值，相应的齐次方程组注：当A为实矩阵时,(λ)=0为实系数n次代数方程,其复根是共轭成对出现.的非零解x称为矩阵A的对

2、应于λ的特征向量.例1求A的特征值及特征向量，其中解矩阵A的特征方程为求得矩阵A的特征值为：对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：定理1设λ为A∈Rn×n的特征值,且Ax=λx(x0)，则有⑵λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x；⑴cλ为的cA特征值(c≠0为常数)；下面叙述有关特征值的一些结论：⑶λk为Ak的特征值，即Akx=λkx；⑷设A为非奇异矩阵，那么λ≠0,且λ-1为A-1的特征值，即A-1x=λ-1x.定理2设λi(i=1,2,,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值,则有⑴称为A的迹；⑵定理3设A∈Rn×n，则有定理4设A为分块上三角矩阵,即其中每个

3、对角块Aii均为方阵，则定理5设A与B为相似矩阵(即存在非奇异矩阵P使B=P-1AP),则定理5说明,一个矩阵A经过相似变换,其特征值不变.一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵,亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.(1)A与B有相同的特征值；(2)如果y是B的特征向量,则Py是A的特征向量.定义2如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ,且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数

4、1,x2,,xm线性无关.定理7(对称矩阵的正交约化)设A∈Rn×n为对称矩阵，则⑶存在一个正交矩阵P使的且λ1,λ2,,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)列向量uj为A的对应于λj的单位特征向量.⑴A的特征值均为实数；⑵A有n个线性无关的特征向量；定义3设n阶矩阵A=(aij)，令下面讨论矩阵特征值界的估计.⑴;⑵集合称为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n个Gerschgorin圆盘.定理8(Gerschgorin圆盘定理)特别地,如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离(即孤立圆盘),则Di中精确地包含A的一个特征值.⑴设n阶矩阵A＝(aij),则A

5、的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中⑵如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S,且S与余下n-m个圆盘是分离的,则S内恰包含A的m个特征值.或者说A的特征值都在n个圆盘的并集中.证明只就⑴给出证明.设λ为A的特征值，即Ax=λx，其中x=(x1,x2,,xn)T0.或记，考虑Ax=λx的第k个方程，即于是即这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵并做相似变换.适当选取　可使某些圆盘半径及连通性发生变化.例2估计矩阵A的

6、特征值范围，其中解矩阵A的3个圆盘为由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一个特征值λ1(为实特征值)，即A的其它两个特征值λ2,λ3包含在D2,D3的并集中.现在取对角阵做相似变换矩阵A1的3个圆盘为显然,3个圆盘都是孤立圆盘,所以,每一个圆盘都包含A的一个特征值(为实特征值),且有估计当A为实矩阵,如果限制用正交相似变换,由于A有复的特征值,A不能用正交相似变换约化为上三角阵.用正交相似变换能约化到什么程度呢？定理9(Schur定理)设A∈Rn×n，则存在酉矩阵U使其中rii(i=1,2,,n)为A的特征值.下面给出理论上有关

7、通过酉相似变换及正交变换可以约化一般矩阵A到什么程度的问题.其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶Rii是A的实特征值，每个二阶对角块Rii的两个特征值是A的两个共轭复特征值.定理10(实Schur分解)设A∈Rn×n，则存在正交矩阵Q使定义4设A∈Rn×n为对称矩阵，对于任一非零向量x，称我们转向实Schur型的实际计算.为对应于向量x的瑞利(Rayleigh)商.定理11设A∈Rn×n为对称矩阵(其特征值次序记为λ1≥