矩阵特征值问题计算

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1、第8章矩阵特征值问题计算8.1引言物理、力学和工程技术的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题.例如，振动问题（大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁振荡等），物理学中某些临界值的确定，这些问题都归结为下述数学问题定义1.（1）已知，则称为的特征多项式.1的特征方程（1.1）一般有个根(实的或复的，重根按重数计算)(当时，为实系数次代数方程，其复根共轭成对出现)，称为的特征值.用表示的所有特征值的集合.（1.2）的非零解称为矩阵的对应于的特征向量.（2）设为特征值，相应的齐次方程组例1求的特征值及特征向量，其中2解矩阵的特征方程为求得特征值为：对应于各特征值的特征向量分别为：3定理1设

2、为的特征值且，其中,则（1）为的特征值（为常数);（2）为的特征值，即（3）为的特征值；（4）设为非奇异阵，那么且为特征值，即定理2设为阶矩阵特征值，则4定理3设，则定理4设为分块上三角阵，即其中每个对角块均为方阵，则5定理5设与为相似矩阵（即存在非奇异阵使)，则（1）与有相同的特征值；（2）如果是特征向量，则是特征向量.定理5说明，一个矩阵经过相似变换后特征值不变.定义2设，如果有一个重数为的特征值且对应于的矩阵的线性无关的特征向量个数少于(一般)，称为亏损矩阵.定理6（1）可对角化，即存在非奇异矩阵使6的充要条件是具有个线性无关的特征向量.（2）如果有个不同的特征值则对应的特征向量线性无

3、关.定理7（对称矩阵的正交约化）设为对称矩阵，则：（1）的特征值均为实数；（2）有个线性无关的特征向量；（3）存在一个正交矩阵使得7且为特征值，而的列向量为的对应于的特征向量.定义3设.令：(1)(2)集合.称复平面上以为圆心，以为半径的所有圆盘为的Gerschgorin圆盘.定理8（Gerschgorin圆盘定理）（1）设，则的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中8或者说，的特征值都在复平面上个圆盘的并集中.（2）如果有个圆盘组成一个连通的并集，且与余下个圆盘是分离的，则内恰包含的个特征值.特别地，如果的一个圆盘是与其他圆盘分离的(即孤立圆盘)，则中精确地包含的一个特征值.证明只就(1)给出

4、证明.设为的特征值，即记考虑的第个方程，即9或于是即这说明，的每一个特征值必位于的一个圆盘中，并且相应的特征值一定位于第个圆盘中（其中是对应特征向量绝对值最大的分量的下标）.10利用相似矩阵性质，有时可以获得的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵并做相似变换.适当选取可使某些圆盘半径及连通性发生变化.11例2估计矩阵特征值的范围.解的3个圆盘为由定理8，可知的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于是孤立圆盘，所以内恰好包含的一个特征值（为实特征值），即12的其他两个特征值包含在的并集中.现选取对角阵做相似变换13的3个圆盘为显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含的一个特征值（

5、为实特征值）且有估计14定理9(Schur定理）设，则存在酉阵使其中为的特征值.当时，如果限制用正交相似变换，由于有复的特征值，不能用正交相似变换约化为上三角阵.15定理10（实Schur分解）设，则存在正交矩阵使其中对角块为一阶或二阶方阵，且每个一阶是的实特征值，每个二阶对角块的两个特征值是的两个共轭复特征值.定义4设为阶实对称矩阵，对于任一非零向量，称16为对应于向量的瑞利（Rayleigh）商.定理11设为对称矩阵（其特征值次序记为，则证明只证1.由于为实对称矩阵，可将对应的特征向量正交规范化，则有17设为中任一向量，则有展开式于是从而1成立.结论1说明瑞利商必位于和之间.188.2幂

6、法及反幂法8.2.1幂法幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵.反幂法是计算海森伯格阵或三对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一.设实矩阵有一个完全的特征向量组，其特征值为，相应的特征向量为.已知的主特征值是实根，且满足条件（2.1）现讨论求及的方法.19幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量，由矩阵构造一向量序列（2.2）称为迭代向量.由假设，可表示为（2.3）于是20其中由假设故（2.4）从而21这说明序列越来越接近的对应于的特征向量，或者说当充分大时（2.5）即迭代向量为的特征向量的近似向量（除一个因子外）.再

7、考虑主特征值的计算，用表示的第个分量，则（2.6）故（2.7）22也就是说两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值.这种由已知非零向量及矩阵的乘幂构造向量序列以计算的主特征值（利用（2.7）式）及相应特征向量（利用（2.5）式）的方法称为幂法.由（2.6）式知，的收敛速度由比值来确定，越小收敛越快，但当时收敛可能就很慢.定理12设有个线性无关的特征向量，主特征值满足则对任何非零初始向量,(2.4),(2.7)式