矩阵特征值的计算

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1、矩阵特征值的计算物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题。�计算方阵A的特征值，就是求特征多项式方程：

2、A−λI

3、=0nn−1即λ+p1λ+⋅⋅⋅+pn−1λ+pn=0的根。求出特征值λ后，再求相应的齐次线性方程组：(A−λI)x=0的非零解，即是对应于λ的特征向量。这对于阶数较小的矩阵是可以的，但对于阶数较大的矩阵来说，求解是十分困难，所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的。�如果矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征值。因此希望在相似变换下，把A化为最简单的形式。一般矩阵的最简单的形式是约当（Jordan）标准

4、形。由于在一般情况下，用相似变换把矩阵A化为约当标准形是很困难的，所以设法对矩阵A依次进行相似变换，使其逐步趋向于一个约当标准形，从而求出A的特征值。下面主要介绍求部分特征值和特征向量的幂法、反幂法，求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比（Jacobi)方法，求任意矩阵全部特征值的QR方法。1§1幂法与反幂法一、幂法�幂法：是一种求任意矩阵A的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法。该方法最大的优点是计算简单，容易在计算机上实现，对稀疏矩阵较为合适，但有时收敛速度很慢。为了讨论简单，我们假设：(1)n阶方阵A的特征值λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn按模的

5、大小排列

6、λ1

7、>

8、λ2

9、≥⋅⋅⋅≥

10、λn

11、(1)(2)vi是对应于特征值λi的特征向量(i=1,2,⋅⋅⋅,n)；(3)v1,v2,⋅⋅⋅,vn线性无关。任取一个非零的初始向量x0，由矩阵A构造一个向量序列x=Ax,k=1,2,⋅⋅⋅kk−1(2)称为迭代向量。由于v1,v2,⋅⋅⋅,vn线性无关，构成n维向量空间的一组基，所以，初始向量x0可唯一表示成：x=av+av+⋅⋅⋅+av01122nn(3)于是2kx=Ax=Ax=⋅⋅⋅=Axkk−1k−20kkk=aλv+aλv+⋅⋅⋅+aλv111222nnnλλ(4)k2knk=λ[av+a()v

12、+⋅⋅⋅+a()v]11122nnλλ112

13、λ

14、i因为比值<1(i=1,2,⋅⋅⋅,n)，所以

15、λ

16、1xlimk=avk11(5)k→∞λ1当k充分大时，有kxk≈λ1a1v1(6)从而k+1xk+1≈λ1a1v1(7)这说明当k充分大时，两个相邻迭代向量xk+1与xk近似地相差一个倍数，这个倍数便是矩阵A的按模最大的特征值λ1。若用(x)表示向量x的第i个分量，则kik(x)k+1iλ≈1(8)(x)ki即两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵A的按模最大的特征值。因为xk+1≈λ1xk，又xk+1=Axk，所以有Axk≈λ1xk，因此向量

17、xk可近似地作为对应于λ1的特征向量。这种由已知的非零向量x0和矩阵A的乘幂构造向量序列{x}以计算矩阵A的按模最大特征值及其相应特征向量的方法k称为幂法。

18、λ

19、2由(4)式知，幂法的收敛速度取决于比值的大小。比

20、λ

21、13

22、λ

23、2值越小，收敛越快，但当比值接近于1时，收敛十分缓慢。

24、λ

25、1用幂法进行计算时，如果

26、λ1

27、>1，则迭代向量xk的各个不为零的分量将随着k无限增大而趋于无穷。反之，如果

28、λ1

29、<1，则xk的各分量将趋于零。这样在有限字长的计算机上计算时就可能溢出停机。为了避免这一点，在计算过程中，常采用把每步迭代的向量xk进行规范化，即用xk

30、乘以一个常数，使得其分量的模最大为1。�幂法迭代公式：⎧y=Axkk−1⎪⎨mk=max(yk)(k=1,2,⋅⋅⋅)⎪(9)x=y/m⎩kkk其中mk是yk模最大的第一个分量。相应地取⎧λ≈m1k⎨(10)v≈x(或y)⎩1kk例1设⎡2−10⎤⎢⎥A=−12−1⎢⎥⎢⎣0−12⎥⎦用幂法求其模为最大的特征值及其相应的特征向量(精确到小数点后三位)。T解取x0=(1,1,1)，计算结果如表1所示。4表1kyTkmkxk1101110122-2221-1133-43-4-0.751-0.754-2.53.5-2.53.5-0.7141-0.7145-

31、2.4283.428-2.4283.428-0.7081-0.7086-2.4163.416-2.4163.416-0.7071-0.7077-2.4143.414-2.4143.414-0.7071-0.707当k=7时，xk已经稳定，于是得到：λ≈m=3.41417及其相应的特征向量v1为：Tv≈x=(−0.707,1,−0.707)17�应用幂法时，应注意以下两点：(1)应用幂法时，困难在于事先不知道特征值是否满足(1)式，以及方阵A是否有n个线性无关的特征向量。克服上述困难的方法是：先用幂法进行计算，在计算过程中检查是否出现了预期的结果。如果

32、出现了预期的结果，就得到特征值及其相应特征向量的近似值；否则，只能用其它方法来求特征值及其相应的特征向量。5