矩阵特征值计算

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1、第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样，矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容.在理论上，矩阵的特征值是特征多项式方程的根，因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解.然而对于高阶矩阵，这种转化并不能使问题得到简化，而且在实际应用中还会引入严重的数值误差.因此，正如第二章指出的，我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题，而不是反过来.本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法.与非线性方程求根问题类似，计①算矩阵特征值的算法也是迭代方法.5.1基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值、特征向量的基本

2、概念和性质，然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法.5.1.1基本概念与性质定义5.1：矩阵?=(?)∈ℂ?×?，??(1)称?(?)=det(??−?)=??+???−1+⋯+??+?1?−1?为?的特征多项式(characteristicpolynomial)；n次代数方程?(?)=0为?的特征方程(characteristicequation)，它的n个根：?1,⋯,??，被称为?的特征值（eigenvalue）.此外，常用?(?)表示?的全体特征值的集合，也称为特征值谱(spectrumofeigenvalue).(2)对于矩

3、阵?的一个给定特征值?，相应的齐次线性方程组(??−?)?=?,(5.1)有非零解（因为系数矩阵奇异），其解向量?称为矩阵?对应于?的特征向量（eigenvector）.根据方程(5.1)，我们得出矩阵特征值与特征向量的关系，即??=??.(5.2)第三章的定义3.5就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义，它与定义5.1是等价的.另外，同一个特征值对应的特征向量一定不唯一，它们构成线性子空间，称为特征子空间(eigenspace).我们一般讨论实矩阵的特征值问题.应注意，实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量，但实

4、特征值一定对应于实特征向量（方程(5.1)的解），而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量.此外，若特征值不是实数,则其复共轭也一定是特征值（由于特征方程为实系数方程）.定理3.3表明，实对称矩阵?∈ℝ?×?的特征值均为实数，存在n个线性无关、且正交的实特征向量，即存在由特征值组成的对角阵?和特征向量组成的正交阵?，使得:?=????.(5.3)例5.1（弹簧－质点系统）：考虑图5-1的弹簧－质点系统，其中包括三个质量分别为?1、?2、?3的物体，由三个弹性系数分别为?1,?2,?3的弹簧相连，三个物体的位置均为时间的函数，①如果

5、用有限次运算能求得一般矩阵的特征值，则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决，这与阿贝尔证明的“高于4次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式”的理论矛盾.–2–这里考查三个物体偏离平衡位置的位移，分别记为?1(?),?2(?),?3(?).因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡，所以物体的加速度只和k1偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关.根据牛顿第二定律以及胡克定律（即弹簧的弹力与拉伸长度成正比）可列出如下微分方程m10②组：y1(t)??′′(?)+??(?)=?,k2其中?(?)=[?1(?)?2(?)?3(?)]?

6、,m20?100?1+?2−?20y(t)2?=[0?20],?=[−?2?2+?3−?3].k300?30−?3?3在一般情况下，这个系统会以自然频率?做谐波振动，而?的m30y3(t)通解包含如下的分量：???图5-1弹簧－质点系统.??(?)=???,(?=1,2,3)其中?=√−1，根据它可求解出振动的频率?及振幅??.由这个式子可得出：?′′(?)=−?2?????,(?=1,2,3)??代入微分方程，可得代数方程:−?2??+??=?,或??=??,其中?=?−1?，?=?2.通过求解矩阵?的特征值便可求出这个弹簧－质点系

7、统的自然频率（有多个）.再结合初始条件可确定这三个位移函数，它们可能按某个自然频率振动（简正振动），也可能是若干个简正振动的线性叠加.例5.2（根据定义计算特征值、特征向量）：求矩阵5−1−1?=[31−1]4−21的特征值和特征向量.[解]:矩阵?的特征方程为：?−511det(??−?)=

8、−3?−11

9、=(?−3)(?−2)2=0−42?−1故?的特征值为?1=3，?2=2（二重特征值）.当?=?1=3时，由(??−?)?=?，得到方程−211?10[−321][?2]=[0]−422?30它有无穷多个解，若假设?=1,则求出解

10、为?=[1,1,1]?，记为?，则?是?对应的一个特1111征向量.当?=?2=2时，由(??−?)?=?，得到方程−311?10[−311][?2]=[0]−421?30它有无穷多个解，若假设?=1,则求出解为?=[1