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1、淮阴师范学院毕业论文(设计)浅谈矩阵特征值的应用摘要:矩阵特征值在很多领域都有广泛应用,本文主要研究了其中两方面的应用：第一是通过数列通项和常染色体遗传问题建模研究特征值在建模中的应用，第二是通过特征值在一阶线性微分方程组的求解问题研究特征值在微分方程中应用.关键字:数列,特征值,特征向量,特征多项式.15淮阴师范学院毕业论文(设计)Abstract:Thetheoryofmatrixeigenvaluehasawiderangeofapplicationsinmanyfields.Thispaperwillmainlyprobeintotheapplicationsoftwooft
2、hem.ThefirstoneistheapplicationofeigenvalueinmodelbybuildingthemodelofformulaoftermoftheFibonaccisequenceandautosomalinheritance.Thesecondoneistheapplicationofeigenvalueindifferentialequationbysolvingtheproblemoffirst-orderlineardifferentialequations.Keywords:fibonaccisequence,eigenvalue,eigenv
3、ector,characteristicpolynomial15淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1引言………………………………………………………42矩阵特征值的相关概念…………………………………43矩阵特征值的应用………………………………………43.1矩阵特征值在建模中的应用…………………………43.1.1数列通项…………………………………43.1.2常染色体遗传问题…………………………………63.2矩阵特征值在一阶线性常系数方程组中的应用……93.2.1矩阵特征根均为单根的情形……………………93.2.2矩阵特征根有重根的情形………………………12结论………………………………………
4、…………………14参考文献……………………………………………………15致谢…………………………………………………………1615淮阴师范学院毕业论文(设计)1引言矩阵特征值是高等数学的重要内容,在很多领域都有广泛应用,尤其在科学研究与工程设计的计算工程之中,灵活运用矩阵特征值能够使很多复杂问题简化.单纯的求解矩阵特征值是一件比较容易的事,但将特征值应用到其它领域就并非那么简单,也正因为此激发了本作者对矩阵特征值应用的兴趣.本文作者将简单介绍矩阵特征值在线性法建模和微分方程中的应用,通过一些实例让大家体会特征值在建模与微分方程求解中所起的作用.2矩阵特征值的相关概念定义1设是数域上线性空
5、间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得.那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量。定义2设是数域上一级矩阵,是一个数,矩阵的行列式=称为的特征多项式,其中矩阵的特征多项式的根称为的特征值.3矩阵特征值的应用3.1矩阵特征值在建模中的应用在数学模型的建立过程中可能伴随着比较复杂的高次计算,而矩阵的高次计算会给我们带来很多麻烦,但我们可利用矩阵特征值及其特征值向量可将较复杂的矩阵化为简单的对角阵,从而简化计算.3.1.1数列通项在年,斐波那契在一本书中提出一个问题:如果一对兔子出生一个月后开始繁殖,每个月生出一对后代,现有一对新生兔子,假定兔子只繁殖,
6、没有死亡,15淮阴师范学院毕业论文(设计)问第月月初会有多少兔子?以”对”为单位,每月兔子组队数构成一个数列,这便是著名的数列,函数数列满足条件,,.试求出通项.解由数列满足式可设.(*)令=,=,==,则(*)可写成矩阵形式=.由式递归可得=.于是求的问题归结为求即求的问题.由==得的特征值=,=.对应于的特征向量分别为:=,=.设=,则=.于是==.所以15淮阴师范学院毕业论文(设计)===.将式代入式得:=.3.1.2常染色体遗传问题在常染色体遗传中,后代是在每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型,如果所考察的遗传特征是由两个基因和控制的,那么就可
7、能有三种可能的基因对,分别称之为,与.当一个亲体的基因型为,另一个亲体的基因型也是时,注意到后代均可以从中等可能地得到基因和,于是运用概率中”对于互斥事件,概率具有可加性”以及”对于独立事件,概率具有可乘性”知==,,.一般地,经过简单的概率运算,可以求得如表1所示的双亲基因型的结合及其后代后代基因型的概率分布表.表1双亲体基因型及其后代基因型的概率分布后代(第代)基因型父体-母体(第代)基因型10000100001现有一种植物基因型为,,,研究人员采用1
