浅谈矩阵特征值

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1、安庆师范学院毕业设计（论文）课题名称：浅谈矩阵特征值学生姓名：任富祥学号：060109071学院：数学与计算科学学院专业班级：2009级数学与应用数学（2）班指导教师：曹坤2012年12月25日浅谈矩阵特征值数学与计算科学学院2009级数学与应用数学（2）班任富祥摘要矩阵是线性代数的主要研究工具，并在众多领域有着广泛的应用。矩阵的特征值是高等代数川教学的重点之一,在科学研究中占有非常重要的地位。进行矩阵的特征值和特征向量性质探讨，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题，如工程技术中振动问题和稳定性⑵，往往可以归结为一个方阵的特

2、征值和特征向量的问题。矩阵特征值计算方法初探，主要介绍了本科水平阶段高等数学屮的特征值计算问题。在本文中，介绍了求矩阵特征值的常规方法即求解特征多项式A-AE=0时久的值，以及针对于我们常见的相似矩阵，对角矩阵等的特征值求法，最后还介绍了两种非常有用的初等变换同步求特征值和特征向量的方法。对于每一种方法，都是以定义T定理（性质）T解法T实例应用的顺序一一给出的，过程清晰明了，而且所选的例题都是精心挑选的，很有代表性。罗列的这些方法，主要是解决阶数较低以及较为常见的矩阵，对于那些超大型的矩阵来说，这些方法不太实用。在实际应用屮，我们所接触的也是一些较为常见的，阶数不大的矩阵。因此

3、，我们可以在求解特征值问题时，根据矩阵的特点，选择最快速实用的方法来求解。这些方法可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识，从而提高高等代数和相关课程的学习效果。关键词：矩阵；特征值；特征向量；特征多项式.女庆师范学院毕业设计（论文）摘要1引言12预备知识12.1矩阵特征值和特征向量的介绍12.2相似矩阵22.3正交矩阵22.4标准上三角形矩阵2.5规范2-矩阵3普通方阵的特征值和特征向量计算3.1计算特征值、特征向量的步骤：3.2普通方阵的特征值计算应用举例4对角矩阵特征值计算4.1对角矩阵的定义・4.2对角矩阵特征值计算应用举例67785相似矩阵的特征值计算6总结参考文献致

4、谢1引言矩阵特征值问题的计算方法(又称代数特征问题的计算方法)屈于线性代数计算方法这一领域，这一领域包括计算行•列式的值，求矩阵的逆，解线性代数方程组，计算矩阵的特征值与特征向量，线性规划等方面的内容。自然科学(如复杂性科学、物理学、控制论、信息论、弹性力学、张量分析、图论等)和工程应用(结构设计，振动系统，自动控制，矩阵对策)的研究都离不开矩阵特征值问题，因而对其进行研究有重要的理论和应用价值国。物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题。计算方阵的特征值，就是求特征方程的根。求出特征值后，再求相应的齐次线性方程组的非零解，即是对应于特征值的特征

5、向量。矩阵的特征值问题一直是基础数学卩】的一个研究方向。但是在实际的求解过程中，我们往往不会考虑太多的实用性，解法单一，烦索，其实我们所接触的矩阵中，有些是可以用线性变换的方法来求解的，这样会提高我们解题的效率，灵活的运用方法还可以激发学生的求知欲。由此可见，在高等代数的教学当中，使学生熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论以及常用解法是非常必要的。文中我们主要是针对于阶数较小的矩阵，而对于阶数较人的矩阵来说，有更合适的方法来求解，在此不做说明。2预备知识2.1矩阵特征值和特征向量的介绍2.1.1矩阵特征值和特征向量的基本定义定义设A为n阶方阵，若存在数2和非零n维向量力使得(1-D则称

6、久为矩阵A的特征值，称力为矩阵A对应于特征值2的特征向量。(1-1)也可写成(A-2E)力=0(1-2)(1-2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

7、A-AE

8、=O(1-3)(1-3)式的左端为免的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根。记f(2)=

9、a-AE

10、,称为C的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根，(1-3)式称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征值。设2=人为其屮的一个特征值，则由方程(A-&E)力=0可求得非零解力二卩•，那么p•便是A对应于特征值人的特征向量。2.2相似矩阵

11、定义设A与B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵p,使B=P_，AP,则称A与B是相似的。定理1若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同。推论若n阶方阵A与对角矩阵diag(Q,心，…，心)相似，则心，心，…，心即是A的特征值在矩阵中，实对称矩阵是一定可以对角化的，并H对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P,使得p"aP为对角阵，而且还能够找到一个正交矩阵T,使T“AT为对角矩阵。定理2设A为对称矩阵，则必存在正交矩阵T,使T_，AT二A二入.