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1、矩阵特征值解法初探届别2012届系别数学系专业信息与计算科学姓名马晓娜指导教师王川龙二○一二年五月9矩阵特征值解法初探学生姓名:马晓娜指导老师:王川龙摘要矩阵的奇异值与特征值是矩阵分析中的重要课题.本文研究了利用幂方法、Krylor方法、Lanczos方法、Frame方法、Samuelson方法解特征值的理论,并在此基础上举例分析了奇异值与特征值的关系.关键词特征值;奇异值;谱范数;谱半径基础知识(1)设矩阵AÎCnn.如果则称A是酉矩阵.(2)矩阵A的奇异值用表示.定义1设A=[aij]∈Mn(C),若存在数l和和非零向量x,
2、使得则称λ为矩阵A的特征值，x为A的属于特征值λ的标准特征向量.定理[1](奇异值分解)设矩阵AÎCn×n,rank(A)=k.则存在酉矩阵U和V,使得,其中，(s1³……³sk>0)为A的非零奇异值.因此,åk由A唯一确定.一、幂方法介绍n阶矩阵A有完备的特征向量系时，按模最大和最小的特征值与对应的特征向量的计算方法.设AÎCnn的特征值为l1,l2,…,ln,对应的特征向量依次为x1,x2,…,xn,且它们线性无关1.乘幂法[2](适用于求大型稀疏矩阵的主特征值)设A的特征值满足,(1)给定非零向量V(0)ÎCn,并分解且要
3、求a1≠0,则有(2)当k充分大时,式(2)括号中第二项可以省略,即A(k)v(0)近似于a1l1kx1,从而可以对应于特征值的近似特征值向量.但在实际计算中,常数因子a1l1k当k→∞时会导致无限减小或无限增大,所以每一步应使用一次单位化运算.设u=(u1,u2,,un)T,记uÎCn的最大分量为9，于是建立迭代公式}(3)下面讨论向量序列{v(k)}的收敛性.从式(3)逐次回代可得上式分母是一个常数,而v(k)的最大分量总是1,所以(4)在式(1)及a1≠0的假设下,当k→∞时,由式(2)有于是得到：mk收敛于l1,而v(k
4、)收敛于对应l1的单位特征向量.2.逆幂法设可逆矩阵A的特征值满足,则A-1的特征值满足即1/ln是A-1的按模最大特征值,将乘幂法迭代公式(3)用于A-1,即得逆幂法迭代公式由解出u(k),(5)（k=1,2,…）与乘幂法的收敛性分析相同,有9为了计算A的第l个特征值及对应的特征向量,选取常数q¹lI(i=1,2,…,n)满足0<
5、ll-q
6、
7、li-q
8、(i¹l)(6)即要求q接近于ll,则(A-qI)-1的按模最大特征值为(ll-q)-1,对矩阵A-qI应用逆幂法迭代公式(5),可得由解出u(k),(7)(k=1,2,…).
9、于是有只要q选择得能很好地满足式(6),则迭代公式(7)的收敛速度可以很快.参数q的选择可以利用Gerschgorin定理或其他有关特征值的信息.迭代公式(7)称为原点位移的逆幂法.它是目前求矩阵特征值和特征向量的有效方法之一.二、Krylov方法通过计算n阶矩阵A的特征多项式的某些因子的零点,得到A的全体互异特征值及其对应的特征向量.1矩阵多项式设A的特征多项式为(8)最小多项式为m(l).且由j(A)=O,所以1£¶m(l)£n.定理1设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln,多项式f(l)满足f(A)=O,则有(1)f(
10、li)=0(i=1,2,…,n)(2)A的最小多项式m(l)整除f(l).定理2矩阵A的最小多项式m(l)唯一,且m(l)与j(l)的零点相同(不计重数).2向量相对于矩阵的零化多项式定义2.1设AÎCnn,0¹yÎCn.如果yy(l)是使yy(A)y=0成立的次数最低的首1多项式,那么称yy(l)为y相对于A的零化多项式.定理3设yy(l)为y相对于A的零化多项式,则yy(l)
11、m(l).定理4向量y相对于矩阵A的零化多项式唯一.定理5设Ann¹0,0¹yÎCn.若有1£k£n,使得y,Ay,…,Ak-1y线性无关，而y,Ay
12、,…,Ak-1y,Aky线性相关,则y相对于A的零化多项式为其中列向量(p1,p2,…,pk)T是线性方程组(9)的唯一解.3向量相对于矩阵的零化多项式计算9设Ann¹0,0¹yÎCn.令(k=1,2,…,n),构造n×(n+1)矩阵则定理6设1£k£n,y0,y1,…,yk线性相关,则推论若则y0,y1,…,yk-1线性无关.定理7设1£k£n,则的充要条件是综上所述,确定yy(l)的步骤可归结为:(1)计算;(2)求方程组(6)的唯一解;(3)写出4矩阵的最小多项式计算尽管在理论上可以给出矩阵A的最小多项式m(l)的计算公式
13、，但其计算过程比较复杂.这里通过计算有限个不同的y相对于A的零化多项式yy(l)来确定m(l).定理8设y0(i)相对于A零化多项式为yi(l)且¶yi(l)=ki(i=1,2,…,N),多项式y1(l),…yN(l)的最小公倍式为f(l),记Cn的子空间如果V
