第9章矩阵特征值的数值解法

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1、第9章矩阵特征值的数值解法9.1引言矩阵特征值问题有广泛的应用背景.例如动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定分析上、工程设计中的某些临界值的确定等，都归结为矩阵特征值问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，都要用到特征值的理论.本章介绍n阶实矩阵的特征值与特征向量的数值解法.定义9.1.1已知n阶实矩阵，如果存在常数和非零向量x，使或(9.1.1)那么称为A的特征值(eigenvalue)，为的相应于的特征向量(eigenvector).多项式(9.1.2)称为特征多项式(characteristicpolynom

2、ial)，(9.1.3)称为特征方程(characteristicequation).注式(9.1.3)是以为未知量的一元n次代数方程，是的n次多项式.显然，的特征值就是特征方程(9.1.3)的根.特征方程(9.1.3)在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶矩阵在复数范围内有n个特征值.除特殊情况(如或为上(下)三角矩阵)外，一般不通过直接求解特征方程(9.1.3)来求的特征值,原因是这样的算法往往不稳定.在计算上常用的方法是幂法与反幂法和相似变换方法.本章只介绍求矩阵特征值与特征向量的这两种基本方法.为此将一

3、些特征值和特征向量的性质列在此处.定理9.1.2设阶方阵的特征值为，那么(1);(2).定理9.1.3如果是方阵的特征值，那么(1)是的特征值，其中是正整数;(2)当是非奇异阵时，是的特征值.(3)是的特征值，其中是多项式.定义9.1.4设都是阶方阵.若有阶非奇异阵，使得，则称矩阵与相似(similar)，称为对进行相似变换(similaritytransformation)，称为相似变换矩阵(similaritytransformationmatrix).定理9.1.5若矩阵与相似，则与的特征值相同.定理9.1.6如果是阶正交矩阵，那么

4、(1)，且或;(2)若，则,即.定理9.1.7设是任意阶实对称矩阵，则(1)的特征值都是实数；(2)有个线性无关的特征向量.定理9.1.8设是任意阶实对称矩阵，则必存在阶正交矩阵，使得，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.定理9.1.9(圆盘定理)矩阵的任意一个特征值至少位于复平面上的几个圆盘，中的一个圆盘上。9.2幂法与反幂法9.2.1幂法及其加速9.2.1.1幂法幂法是计算矩阵按模最大特征值(largesteigenvalueinmagnitude)及相应特征向量的迭代法.该方法稍加修改，也可用来确定其他特征值.幂法的一个很有用的

5、特性是：它不仅可以求特征值，而且可以求相应的特征向量.实际上，幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量.下面探讨幂法的具体过程.设矩阵的n个特征值满足,(9.2.1)且有相应的n个线性无关的特征向量，则构成n维向量空间的一组基,因此.在中选取某个满足的非零向量.用矩阵同时左乘上式两边，得.再用矩阵左乘上式两边，得.这样继续下去，一般地有(9.2.2)记，则由式(9.2.2)得(9.2.3)由假设(9.2.1)，结合式(9.2.3)，得(9.2.4)于是对充分大的k有(9.2.5)式(9.2.4)表明随着k的增大，序列越来越接近A的

6、对应于特征值的特征向量的倍,由此可确定对应于的特征向量.当k充分大时，可得的近似值.上述收敛速度取决于比值.事实上，由式(9.2.3)知，.(9.2.6)再由式(9.2.1)得.(9.2.7)结合式(9.2.6)和式(9.2.7)知，序列收敛速度取决于比值.下面计算.由式(9.2.3)知当k充分大时,.结合式(9.2.5)，得.这表明两个相邻向量大体上只差一个常数倍，这个倍数就是A的按模最大特征值.记,则有，(9.2.8)即两个相邻的迭代向量所有对应分量的比值收敛到.定义9.2.1上述由已知非零向量及矩阵的乘幂构造向量序列来计算的按模最大

7、特征值及相应特征向量的方法称为幂法(powermethod)，其收敛速度由比值来确定，越小，收敛越快.注由幂法的迭代过程(9.2.3)容易看出，如果（或），那么迭代向量的各个非零的分量将随着而趋于无穷（或趋于零），这样在计算机上实现时就可能上溢(或下溢).为了克服这个缺点，需将每步迭代向量进行规范化:记.若存在的某个分量，满足，则记.将规范化,这样就把的分量全部控制在中.例如，设，因为的所有分量中，绝对值最大的的是，所以，故.综上所述，得到下列算法：算法9.2.1(幂法)设是阶实矩阵，取初始向量，通常取，其迭代过程是：对，有(9.2.9)

8、定理9.2.1对式(9.2.9)中的序列和有,，(9.2.10)其收敛速度由确定.证明由迭代过程(9.2.9)知,(9.2.11)其中.若，则由(9.2.3)知：,代入式(9.2.11)得，(