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《第八章矩阵特征值问题的数值解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章矩阵特征值数值解在实际问题中，矩阵的模最大特征值往往起重要作用，例如矩阵的谱半径就是矩阵的模最大特征值，它决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要.幂法就是计算矩阵的模最大特征值及特征向量的数值方法。反幂法就是计算矩阵的模最小特征值及特征向量的数值方法。8.1引言如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中（1）计算特征多项式（3）将所求的特征根逐个代入方组中，所有引言要历经下列步骤：（2）计算特征多项式的根解的全体组成A的特征向量。（1）求A的全部特征值、特征向量:Eigens
2、ystem[A]（2）求A的特征值：Eigenvaluse[A]（3）求A的特征向量组:Eigenvectors[A](4)求A的特征多项式：Det[A-λ*IdentityMatrix[n]]程序A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}};Print["特征多项式为："]Det[A-λ*IdentityMatrix[3]]Print["特征值为："]Solve[Det[A-λ*IdentityMatrix[3]]==0]Eigenvalues[A];Print["特征向量为："]Eigenvector
3、s[A]Print["特征值和特征向量为："]Eigensystem[A]运行结果：程序运行结果预备知识：预备知识Eigen-valueEigen-vector预备知识8.2幂法运算及程序幂方法幂方法此式说明了什么？当k足够大时,X(k)近似等于主特征向量解题步骤：幂方法此式说明了什么？当k充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零分量的比值近似等于主特征值。幂方法说明几点说明：因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然它在u1方向上的分量不为零，这样，以后的计算就满足所设条件。会产生一个向量，1）如果的选取恰恰使得
4、a1＝0，幂法计算仍能进行。或由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。幂方法说明用规范幂法求矩阵的最大特征值1和对应的特征向量。解:取初始向量V0=(0.5,0.5,1.1)T，根据程序：例1运行结果：A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}};v0={0.5,0.5,1.1};Do[v1=A.v0;Print[k,"","v",k,"=",v1,"","v",k,"与v",k-1,"的第1个分量比值是",v1[[1]]/v0[[1]],"","v",k,"与v",k-1,"的第2个分量比值
5、是",v1[[2]]/v0[[2]]];v0=v1/Max[Abs[v1]],{k,1,35}]Print[“矩阵A的精确特征值及对应的特征向量为”]；Eigensystem[A]反幂法就是计算矩阵A的模最小特征值（即求A的逆的最大特征根）及特征向量的数值方法。8.3反幂法运算及程序反幂法及程序因为的计算比较麻烦，而且往往不能保证矩阵A的一些好的性质，如稀疏性，因此反幂法在实际计算时以求解方程组:代替幂法迭代：反幂法及程序例2A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}};y0={0,0,1.};Do[
6、x1=LinearSolve[A,y0];Print[k,"","v",k,"=",x1,"","v",k,"与v",k-1,"的第1个分量比值是",y0[[1]]/x1[[1]]];y0=x1/Max[Abs[x1]],{k,1,22}]Print["最小特征值对应的特征向量是",x1]Eigensystem[A]反幂法例题运行结果为：反幂法程序运行结果雅克比方法概述雅克比方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应特征向量的一种方法。预备知识（1）任意实对称矩阵A可通过正交相似变化成8.4雅克比方法雅克比方法概述（2）在
7、正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。基本思想雅克比法的基本思想下面以二阶实对称矩阵为例分析矩阵形式为：雅克比方法的实例分析过程如下：雅克比方法的实例分析则上式简写为：容易验证R是一个正交矩阵。正交变换R把对称矩阵A变成为对角矩阵，正交矩阵R的两个列向量分别为对应于两个特征值的单位特征向量。上述结果可推广到一般情况。雅克比方法的实例分析矩阵的旋转变换雅克比方法的一般推广雅克比方法的一般推广雅克比方法的一般推广可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的个数增加，但是可以保证非对角元的平方和递减。雅克比方法的一
8、般推广上式表面，在旋转变换下，非对角元的平方和严格单调减。因而对角元的平方和单调增，利用此点，则导出了Jocobi方法。Jacobi方法的理论基础雅克比法的理论基础相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素如果在对A做定理例3雅克比法例题雅克比法例题雅克比法例题雅克比法例题QR算法是计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。适用
