数值分析第8章——矩阵特征值问题计算.ppt

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1、第八章矩阵特征值问题计算对n阶方阵A求数和非零向量x,使其满足Ax=x这样的值称为矩阵A的特征值，非零向量x称为矩阵A的与特征值相对应的一个特征向量。1定义1设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使则称A与B相似。定理1若矩阵A,BRnn且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。8.1预备知识2定理2：设ARnn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使3定理3：A

2、Rnn，1,…,n为A的特征值，则（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即（1）A的迹数等于特征值之和，即4定理45定理5设ARnn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则（1）对任意ARn，x≠0，（2）（3）6定理6（Gerschgorin圆盘定理）设ARnn，则表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n–m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。789101112定理71314一幂法1基本思想任取非零向量v0,则可唯一

3、表示为设n阶矩阵A的特征值,满足,且其对应有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn，即8.2幂法和反幂法15则16其中由假设条件所以当k充分大时，有从而所以17即为矩阵A的对应特征值1的近似特征向量。用(vk)i表示vk的第i个分量,则当k充分大时,有即为主特征值的近似值。且18设有主特征值满足个线性无关的特征向量，则对任意非零初始向量，下面的式子成立定理19迭代公式(1)实质上是由矩阵A的乘幂Ak与非零向量v0相乘来构造向量序列{xk},从而计算主特征值及其对应的主特征向量,故称这种方法为幂法。20设有主特征值满足个线性无关的特征向量，则对任意非

4、零初始向量定理按照下述方法构造的向量序列则有212.幂法实用计算公式22例1求矩阵的主特征值与其对应的特征向量。解　取v0=(0,0,1)T,则23直到k=8时的计算结果见下表0.5,1,0.750011.00005.5000,11.0000,8.250080.5,1,0.750011.00055.5002,11.0005,8.250170.5,1,0.750110.99745.4987,10.9974,8.249460.5,1,0.749411.01425.5075,11.0142,8.257650.5,1,0.753610.92235.4621,10

5、.9223,8.230640.5,1,0.736011.44445.7222,11.4444,8.36130.5,1,0.861194.5,9,7.7520.5,1,0.2542,4,1,1k从而24二、幂法的加速1、原点平移法如果是矩阵A的特征值,则对任意的实数p,矩阵A-pE的特征值为-p,且A与A-pE的特征向量相同.据此,如果要计算A的主特征值1,只要选择合适的数p,使1-p为矩阵A-pE的主特征值,且那么,对矩阵A-pE应用幂法求其主特征值1-p,收敛速度将会加快.这种通过求A-pE的主特征值和特征向量,进而得到A的主特征值和特征向量

6、的方法叫原点平移法。25且使显然,当2-p=-(n-p),即P=(2+n)2时,上式取最小值;如果希望计算n,类似的讨论可知应选取p=(1+n-1)2。则对任意实数p,矩阵A-pE的主特征值为1-p或n-p,要求1,则选p使26例2用原点平移加速法求例1中矩阵A的主特征值与其对应的特征向量。解取p=-2.5,做平移变换B=A-pE，则对B应用幂法，仍取x0=(0,0,1)T,则27迭代5步的计算结果见下表0.5,1,0.750013.50006.7500,13.5000,10.125050.5,1,0.750013.50076.750

7、3,13.5007,10.125640.5,1,0.750713.51796.76,13.5179,10.140630.5,1,0.7545147,14,10.562520.5,1,0.87542,4,3.51k可得到B的主特征值113.5000特征向量v1(0.5,1.0,0.7500)T因此,A的主特征值为1=1+p11.0000,特征向量仍为v1=(0.5,1,0.7500)T。282930设A为n阶实对称矩阵，称为向量x的瑞利商，其中(x,x)=xTx为内积。不难证明，对实对称矩阵A，如果其特征值满足2、瑞利商加速由幂法公式生成的xk

8、的瑞利商满足由此可见，R(xk)比mk更快的收敛于1。31幂法的瑞利商加速迭代