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《第八章矩阵特征值特征向量数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定.常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。§1乘幂法乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。为什么是第j个分量呢？能相等吗？定理8·1设矩阵An×n有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,…,n），其对应的特征值λi(i=1,2,…,n)满足
2、λ1
3、
4、>
5、λ2
6、≧…≧
7、λn
8、则对任何n维非零初始向量Z0,构造Zk=AZk-1(k=1,2,…)有（8·1）其中(Zk)j表示向量Zk的第j个分量。证明：只就λi是实数的情况证明如下。理解：对比迭代因为A有n个线性无关的特征向量Xi，（i=1,2,…,n）所以任何非零向量Z0都可用Xi（i=1,2,…,n）线性表示，即Z0=α1X1+α2X2+…+αnXn（α1≠0）用A构造向量序列{Zk}其中(8.2)由矩阵特征值定义知AXi=λiXi(i=1,2,…,n)，故（8.3）同理有（8.4）将（8.3）与（8.4）所得Zk及Zk-1的第j个分量相除
9、，设α1≠0，并且注意到
10、λi
11、<
12、λ1
13、(i=1,2,…,n)得证毕定理8·1的证明过程实际上是给出了矩阵的按模最大特征值的计算方法：11/111)先任取一非零向量Z0,一般可取Z0=(1,1,1)T；2)按（8.2）式计算Zk=AZk-1(k=1,2,…)；3)当K足够大时,即可求出,为了减少λ1对于所选的第j个分量的依赖性,还可用各个分量比的平均值来代替,即关于对应于λ1的特征向量的计算：由（8.1）知，当k充分大时，Zk=λ1Zk-1，又由迭代式Zk=AZk-1，可知AZk-1=λ1Zk-1故由特征值定义知Zk-1即为λ1对应的特征向量
14、，或Zk=λ1Zk-1为λ1对应的特征向量。这种求矩阵的按模最大特征值及其对应特征向量的方法称为乘幂法。应用乘幂法计算A的按模最大特征值λ1和对应特征向量时,由（8.3）易知无穷模！当
15、λ1
16、>1或
17、λ1
18、<1时,Zk中不为零的分量将会随K的增大而无限增大,或随K的增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢”。为了克服这个缺点,常将迭代向量Zk先规范化，然后再计算，具体做法是：用max(Z)表示向量Zk的绝对值最大的分量，任取一初始向量Z0=α1X1+α2X2+…+αnXn（α1≠0）构造与（8.2）对应的向量序列。（8.6）由（8.3
19、）可知（8.7）11/11由（8.3）和（8.6）（8.8）也就是说,在满足定理的条件下,规范化的向量序列Yk仍收敛到A的按模最大特征值对应的特征向量；而向量序列Zk的绝对值最大的分量收敛到A的按模最大的特征值λ1。例8·1用规范化的乘幂法求矩阵按模最大的特征值λ1和对应的特征向量X1。解：取初始向量Z0=Y0=(1,1,1)T，按(8.6)、(8.7)和(8.8)算得Zk、Yk和max(Zk)，结果列于下表8—1.表8—1KZkYkmax(Zk)01234567127444.4237744.9233344.9957244.9995944.99
20、95344.9995319514.843214.9762314.9986514.9998814.9998314.999831-184-29.64262-29.95048-29.99722-29.99974-29.99968-29.999681111111110.346720.334130.333370.333340.333330.333330.333331-0.67153-0.66727-0.66670-0.66667-0.66667-0.66667-0.6666744.4237744.9233344.9957244.9995344.99953
21、44.99953经七次选代计算,λ1的近似值max(Z7)已稳定到小数点后第五位，故可取A的按模最大的特征值及对应的特征向量分别为λ1=44.9995，X1=(1,0.333，-0.6667)T我们不难求出矩阵A的三个特征值是λ1=45，λ2=2，λ3=1相应的特征向量为：X1=(3,1,-2)T，X2=(3,2,-3)T，X3=(2,1,-2)T，注：（1）若矩阵An×n的按模最大特征值λ1是P重根时,即
22、λ1
23、=
24、λ2
25、=…=
26、λp
27、>
28、λp+1
29、≥
30、λn
31、容易证明定理1的结论仍成立。11/11（2）此外，定理1中要求初始向量Z0的α1≠0
32、是必要的，否则就不能得到对应于λ1的结果。如在例1中若取Z0=(1,1,-1)T，由此出发迭代便得λ1=2，X1=(1,0.6667,-1)T显然,这
