矩阵特征值和特征向量解法的研究

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1、德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文矩阵特征值和特征向量解法的研究周雪娇（德州学院数学系，山东德州253023）　　摘要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率.　　关键词：矩阵；特征值；特征向量；解法引言　　矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往

2、意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题.1矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1矩阵特征值与特征向量的定义　　设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值，为的对应于特征值的特征向量.1.2矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：（1）若重特征值，则个线性无关的特征向量，其中.（2）若线性无关的向量都是矩阵的对应于特征值的特征向量，则当不全为零时，仍是的对应于特征值的特征向量.（3）若的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则这组特征向量线性无关.54德州学

3、院数学系2010届统计学专业毕业论文（4）若矩阵的特征值分别为，则，.（5）实对称矩阵的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交.（6）若是实对称矩阵的重特征值，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量.（7）设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式的特征值.2普通矩阵特征值与特征向量的求法2.1传统方法确定矩阵的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步：（1）求出矩阵特征多项式的全部特征根；（2）把所求得的特征根逐个代入线性方程组，对于每一个特征值，解方程组，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.　

4、　例1已知矩阵求矩阵的特征值和特征向量.解==所以，由知的特征根.54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文当时，由，即=0得，因此，属于特征值的特征向量为.当时，由,即=0得，因此，属于特征值的特征向量为.2.2列行互逆变换法　　2.2.1列行互逆变换法的定义　　把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：　　（1）互换两列，同时互换两行；　　（2）第列乘以非零数,同时第行乘；　　（3）第列倍数加到第列，同时第行倍加到第行.　　2.2.2列行互逆变换法的应用　　例2已知矩阵求的特征值和特征向量.54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文解所以，特征

5、值，对应特征值的特征向量为，对应特征值的特征向量为54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文.2.3列初等变换法2.3.1列初等变换的步骤列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是：（1）将经过一系列初等变化变成，其中为含的下三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵；　　（2）令主对角线元素之积为零，求出根即为特征值；（3）将求出的代入中为，在进行列初等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，中后的个列向量即为对应的特征向量.2.3.2列初等变换的应用例3已知矩阵求矩阵的特征值和特征向量.解=54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文=由知的特征

6、根.当时，,特征向量为.当时，=,特征向量为.3矩阵特征值与特征向量在线性变换中的应用例4设是数域上的维线性空间，线性变换在的基54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文下的矩阵为（1）求线性变换在的基下的矩阵；（2）求线性变换的特征值与特征向量.解（1）因为=所以由基到基的过渡阵为而在下的矩阵为所以在下的阵为=54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文（2）计算可得====所以有3个相同的特征值，代入特征方程，有可得，故的属于特征值的线性无关的特征向量为.4正互反阵特征值与特征向量的求法4.1正互反阵的定义矩阵（，）称为正互反阵，其中元素与须

7、互为倒数，即.4.2和法4.2.1和法的具体实现步骤为：　　；54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文；；.　　这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量.因为当为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若得不一致性不严重，则取的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的.　　4.2.2和法的应用例5运用和法求矩阵的特征值和特征向量.解==；==.则特征根为.因此，运用和法计算的特征向量，特征值为.54德州学院数学系2010届统计学专业毕业论文4.3根法4.3.1根法的具体实现步骤为：将A的每一列向量归一化得；　　将按行

8、求积并开次方，即；　　将归一化，；　　计算，作为最大特征值的近似值.4.3.2根法的应用　　例